Enunciado

a ) Suponha que, em vez de uma caixa com base quadrada, você possua uma caixa com lados quadraso cujas dimensões sejam h × h × w e cuja cintura seja 2 h + 2 w . Que dimensões darão À caixa o maior volume nessas condições?

b ) Esboce o gráfico do volume em função de h e compare o que se vê com a resposta dada no item a

Passo 1

Olhando o desenho que ele deu,. Temos

Vamos chamar o lado da base de x e o comprimento de y

O volume vai ser:

V = h w . h = h 2 w

A soma que ele disse vai ser:

S = 2 w + 2 h + h = 2 w + 3 h

Logo:

108 = 2 w + 3 h

w = 5 4 - 3 2 h

O volume vai ficar:

V = h 2 5 4 - 3 2 h

V = 5 4 h 2 - 3 h 3 2

O valor de h pode ir de 0 , até quando a cintura vale 108 , fazendo h ser 36 , porque

3 h = 108

Então:

0 ≤ h ≤ 36

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

V ' = 108 h - 9 h 2 2

Fazendo isso igual a 0

108 h - 9 h 2 2 = 0

Colocando o 9 h em evidência:

9 h 12 - h 2 = 0

Vamos ter:

9 h = 0 → h = 0

12 - h 2 = 0 → h = 24

Ambos estão no intervalo.

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = h 2 5 4 - 3 2 h

Vamos ter:

h = 0 → V = 0 2 5 4 - 3 2 0 = 0

h = 24 → V = 24 2 5 4 - 3 2 18 = 10368

h = 36 → V = 36 2 5 4 - 3 2 36 = 0

O maior dos 3 valores é quando h = 24

Suas dimensões serão

h = 24

E

w = 54 - 3 2 24 = 18

Passo 4

Letra b

Já fizemos em função de h né? hahaha

Resposta

Lado do quadrado = 24   p o l

Comprimento = 18   p o l

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