Enunciado

Considere o seguinte problema: um fazendeiro com 300 m de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total possível das quatro partes?

  1. Faça vários diagramas ilustrando a situação, alguns com divisões rasas e largas e alguns com divisões profundas e estreitas. Encontre as áreas totais dessas configurações. Parece que existe uma área máxima? Se a resposta for sim, estime-a.
  2. Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma notação e marque no diagrama seus símbolos.
  3. Escreva uma expressão para a área total.
  4. Use a informação dada para escrever uma equação que relacione todas as variáveis.
  5. Use a parte (d) para escrever a área total como uma função de uma variável
  6. Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua estimativa da parte (a)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Nessa aqui o enunciado nos deu um probleminha:

Um fazendeiro com 300   m de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. E pergunta qual é a maior área total possível das quatro partes?

Nesse problema a gente não precisa pensar muito como proceder, porque temos 6 itens pra responder que indicam a gente pro caminho certo! Então vamos construir alguns diagramas para ilustrar a situação, escrever uma expressão para a área total, escrever uma equação que relacione todas as variáveis e comparar as estimativas feitas nos diagramas.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com a letra a, temos que fazer um diagrama, com divisões rasas e largas e com divisões profundas e estreitas. Depois disso precisamos encontrar as áreas de cada diagrama.

Temos 300   m de cerca, certo? E ela é dividida em 4 partes retangulares e as cercas devem ser paralelas a um lado do retângulo. Percebe que tem infinitas formas de fazer isso?

Aqui a gente quer vários diagramas, entre eles temos que ter divisão rasa e larga e o profunda e estreita, não podemos esquecer que o nosso perímetro será 300   m :

Então, estimando o perímetro:

P 1 = 100 + 100 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 300   m

E para a área, temos:

A 1 = 20 × 100 = 2000   m 2

Pra facilitar a vida vamos sempre considerar os 4 retângulos do mesmo tamanho, mas o enunciado não especificou nada, beleza?!

Com divisões profundas e estreitas, podemos ter essas configurações aqui, olha só:

Dessa forma, teremos o perímetro:

P 2 = 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 50 + 50 = 300   m

E a área:

A 2 = 40 × 50 = 2000   m 2

Vamos fazer mais uma:

Com perímetro dado por:

P 3 = 30 + 30 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48 = 300   m

E área dada por:

A 3 = 30 × 48 = 1440   m 2

Beleza! O valor máximo que encontramos para a área entre essas configurações é:

A = 2000   m ²

Show! Agora podemos ir para a letra b!

Passo 3

Na letra b, precisamos fazer um diagrama pra adotar como geral e adotar variáveis. É claro que existem infinitas formas de fazer, mas vamos escolher essa aqui:

Sendo x a base e y a altura. Perceba que consideramos 4 retângulos iguais, não vamos esquecer disso!

Passo 4

Agora na letra c, precisamos escrever uma expressão para a área:

A = b a s e   ⋅   a l t u r a

A = x ∙   y

Passo 5

Aqui na letra d, vamos escrever a equação que relaciona x e y . Assim, de acordo com a nossa informação do perímetro, temos que:

2 x + 5 y = 300

Passo 6

Na letra e, precisamos que essa equação da área tenha apenas uma variável, ok?

Pra fazer isso vamos usar a informação de perímetro dada e deixar y em função de x :

2 x + 5 y = 300

y = 300 - 2 x 5

y = 60 - 2 5 x

E substituindo isso na equação da área, temos:

A = x     60 - 2 5 x

A = 60 x - 2 5 x 2

Passo 7

Agora pra fechar vamos encontrar a área máxima, para isso vamos começar encontrando os valores críticos. Assim, derivando nossa expressão da área ( A = 60 x - 2 5 x 2 ), temos:

A ' = 60 - 4 5 x

E igualando essa derivada a zero:

60 - 4 5 x = 0

x = 5 ∙ 60 4

Obtemos:

x = 75

O nosso valor máximo de área será substituindo esse valor de x substituído na nossa equação:

A = 60 ∙ 75 - 2 5 75 2

A = 4500 - 2250

A = 2250   m

Comparando com o valor de área que encontramos na letra (a), vemos que a área máxima é maior, certo?

Uhul!! Conseguimos!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) D i a g r a m a s   n o s   p a s s o s

O maior valor de área que encontramos é 2000   m 2

(b) A = x   .   y

(c) 2 x + 5 y = 300

(d) A = 60 x - 2 5 x 2

(e) A área máxima é de 2250   m 2 , que é maior que o valor que encontramos na letra a.

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