10. y = raiz(x^3), P_0(0,0) ate P_1(4,8)

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = x 3

d y d x = 1 2 x 3 ⋅ 3 x 2 = 3 2 ⋅ x 2 ⋅ x - 3 2 = 3 2 x 1 2

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 3 2 x 1 2 2

= 1 + 9 4 x

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

x , y = 0,0 → ( 4,8 )

Assim, temos o intervalo de 0 a 4.

s = ∫ 0 4 1 + 9 4 x   d x

= ∫ 0 4 1 + 9 4 x 1 2   d x

u = 9 x 4 + 1

d u = 9 4 d x

= 4 9 u d u

4 9 ⋅ u 3 2 3 2 = 8 27 ⋅ u 3 2

Voltando a variável, temos:

= 8 27 ⋅ 1 + 9 4 x 3 2 0 4

= 8 27 . ( 10 10 - 1 )

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é 8 27 . ( 10 10 - 1 )

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