Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.2 - Ex. 10m

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10. Calcule

m )   ∫ 2 x + 3 1 - 4 x 2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos separar essa integral em duas

∫ 2 x + 3 1 - 4 x 2 d x =   ∫ 2 x 1 - 4 x 2 d x + ∫ 3 1 - 4 x 2 d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral, percebemos que se derivarmos o termo dentro da raiz, teremos algo parecido com o valor no numerador. Então, fazendo

u = 1 - 4 x 2   ⇒ d u =   - 8   x   d x   ⇒ x   d x =   - d u 8

Substituindo na integral

∫ 2 x 1 - 4 x 2 d x = 2 ∫ x 1 - 4 x 2 d x =   2 ∫ - 1 u d u 8   =   - 2 1 8 ∫ 1 u 1 2   d u =   - 1 4 ∫ u - 1 2   d u

Lembrando que ∫ x α d x = x α + 1 α + 1 + k . Então,

- 1 4 ∫ u - 1 2   d u = - 1 4 1 1 2 u 1 2 + k = - 1 4 2 u + k =   - 1 2 1 - 4 x 2 + k

Passo 3

Agora, para a segunda integral. Vemos que essa integral é do tipo ∫ 1 1 - x 2 d x =   sin - 1 ⁡ x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

∫ 3 1 - 4 x 2 d x =   ∫ 3 1 - 2 x 2 d x = 3 ∫ 1 1 - 2 x 2 d x

Agora, para fica igual, faremos

u = 2 x ⇒ d u = 2   d x   ⇒ d x = d u 2

Substituindo na integral

3 ∫ 1 1 - 2 x 2 d x = 3 ∫ 1 1 - u 2 d u 2 = 3 2 ∫ 1 1 - u 2 d u            

Resolvendo essa integral

3 2 ∫ 1 1 - u 2 d u     = 3 2   sin - 1 ⁡ u + k = 3 2   sin - 1 ⁡ 2 x + k    

Passo 4

Juntando os resultados obtidos

∫ 2 x 1 - 4 x 2 d x + ∫ 3 1 - 4 x 2 d x =   - 1 2 1 - 4 x 2 + 3 2   sin - 1 ⁡ 2 x + k    

Resposta

Portanto,

∫ 2 x + 3 1 - 4 x 2 d x =   - 1 2 1 - 4 x 2 + 3 2   sin - 1 ⁡ 2 x + k    

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