103. Calcule ∫ 0 π cos ⁡ x + 1 2   d x .

Passo 1

Para resolvermos a integral acima devemos lembrar do conceito de função modular , bem como utilizarmos o teorema 5.6.7.

Passo 2

Sabemos do conceito de função modular, que :

cos ⁡ x + 1 2   = cos ⁡ x + 1 2 ,     x ≥ 2 π 3 - ( cos ⁡ x + 1 2 )   ,     x < 2 π 3

Passo 3

Utilizando o Teorema 5.6.7, podemos reescrever a integral dada como:

∫ 0 π cos ⁡ x + 1 2   d x = ∫ 0 2 π 3 ( cos ⁡ x + 1 2 ) d x + ∫ 2 π 3 π - ( cos ⁡ x + 1 2 ) d x    

= (   s e n   x + x 2   ) 0 2 π 3 - (   s e n   x + x 2 ) 2 π 3 π

  s e n       2 π 3 + π 3 -     0 + 0 -     0 + π 2 - s e n   2 π 3 + π 3 =   ( 3 + π 6 )

Resposta

∫ 0 π cos ⁡ x + 1 2   d x = ( 3 + π 6 )

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