Enunciado

12. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = x 2 3 + x x  

Passo 1

A função dada é a seguinte:

f x = x 2 3 + x x

Não esquece:   f x = x n → F x = x n + 1 n + 1 + C   quando   n   ≠ - 1 .  

Reescrevendo, temos:

f x = x 2 3 + x 3 2

Para achar a primitiva, vamos fazer o seguinte:

F x = x 2 3 + 1 2 3 + 1 + x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C  

Passo 2

Arrumando as coisas, temos:

F x = x 5 / 3 5 / 3 + x 5 / 2 5 / 2 + C

Logo,

F x = 3 x 5 / 3 5 + 2 x 5 / 2 5 + C

Passo 3

Derivando para conferir!

F ' x = 5 3 ⋅ 3 x 5 3 - 1 5 + 5 2 ⋅ 2 x 5 2 - 1 5

Então,

F ' x = x 2 / 3 + x 3 / 2

Isto é,

F ' x = x 2 3 + x x

F ' x = f ( x )

Resposta

F x = 3 x 5 / 3 5 + 2 x 5 / 2 5 + C

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