1-26. Calcule a integral.

21. ∫ 0 1 5 x 3 1 - x 2 d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . s e n   θ

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

a 2 - x ²

Comparando a raíz da nossa integral, que é 1 - x 2 com a raíz acima, teremos que:

x = 1 . s e n   θ

Ademais:

x 3 = s e n ³ θ

E disso tiramos:

d x = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 5 x 3 1 - x 2 d x = 5 ∫ 0 1 s e n ³ θ 1 - s e n ² θ cos ⁡ θ d θ

Mas o que seria 1 - s e n 2 θ ? Pela relação fundamental da trigonometria:

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Então:

5 ∫ 0 1 s e n ³ θ 1 - s e n ² θ cos ⁡ θ d θ = 5 ∫ 0 1 s e n ³ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Para a nossa nova integral vamos utilizar novamente a relação fundamental da trigonometria, se liga:

5 ∫ 0 1 s e n ³ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 5 ∫ 0 1 1 - c o s 2 θ cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ

5 ∫ 0 1 1 - c o s 2 θ cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ = 5 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ θ s e n θ - cos 4 ⁡ θ s e n   θ d θ

Fazendo:

u = cos ⁡ θ

Tiramos que:

d u = - s e n   θ d θ

Logo:

5 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ θ s e n θ - cos 4 ⁡ θ s e n   θ d θ = 5 ∫ 0 1 - u 2 + u 4 d u

Resolvendo:

5 ∫ 0 1 - u 2 + u 4 d u = 5 u 5 5 - u 3 3 1 0

5 u 5 5 - u 3 3 1 0 = 5 cos 5 ⁡ θ 5 - cos 3 ⁡ θ 3 1 0

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de θ e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

cos ⁡ θ = 1 - x 2 1 = 1 - x 2

Substituindo no nosso resultado, teremos:

5 cos 5 ⁡ θ 5 - cos 3 ⁡ θ 3 1 0 = 1 - x 2 5 - 5 3 1 - x 2 3 1 0

Aplicando os intervalos de integração:

1 - x 2 5 - 5 3 1 - x 2 3 1 0 = 2 3

∴ ∫ 0 1 5 x 3 1 - x 2 d x = 2 3

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 0 1 5 x 3 1 - x 2 d x = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados