1-26. Calcule a integral.

23. ∫ 2 2 d x x 2 x 2 - 1

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . sec ⁡ θ

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

x 2 - a 2

Comparando a raíz da nossa integral, que é x 2 - 1 com a raíz acima, teremos que:

a = 1

Logo:

x = sec ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

  ∫ 2 2 d x x 2 x 2 - 1 =   ∫ 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Mas o que seria esse ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) ? Da trigonometria temos o seguinte:

sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

Então:

∫ 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = ∫ 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Simplificando, teremos:

∫ 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 2 2 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ 2 2 cos ⁡ θ d θ

Que é uma integral bastaaante simples e já conhecida, não é mesmo? Seu resultado é:

∫ 2 2 cos ⁡ θ d θ = s e n   θ 2 2

Passo 3

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de θ e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

s e n   θ = x 2 - 1 x

Substituindo no nosso resultado, teremos:

s e n   θ 2 2 = x 2 - 1 x 2 2

Aplicando os intervalos de integração:

x 2 - 1 x 2 2 = 3 - 2 2

∴ ∫ 2 2 d x x 2 x 2 - 1 = 3 - 2 2

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 2 2 d x x 2 x 2 - 1 = 3 - 2 2

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