Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 d x x 2 + 6

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o x 2 + 6 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = x 2 + 6

t 2 = x 2 + 6

t 2 = x 2 + 6 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica tan ⁡ θ = x 6

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 6 tan ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

x = 6 tan ⁡ θ

d x = 6 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ 6 tan ⁡ θ 2 6 sec 2 ⁡ θ d θ 6 tan ⁡ θ 2 + 6

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ 6 tan 2 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ + 1 6

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ∙ 1 cos 2 ⁡ θ  

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

∫ 6 tan 2 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ d θ 6 sec ⁡ θ

6 ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Usando a Identidade Trigonométrica novamente e sabendo que   ∫ sec n ⁡ x d x = sin ⁡ x sec n - 1 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x temos

6 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ

6 ∫ sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ

6 sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ + ∫ - sec ⁡ θ d θ

Passo 5

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente sec ⁡ θ = x 2 + 6 6 , sin ⁡ θ = x x 2 + 6 e tan ⁡ θ = x 6 .

3 sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 3 ∫ sec ⁡ θ d θ

3 sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c

3 x x 2 + 6 x 2 + 6 6 2 - 3 ln ⁡ x 2 + 6 6 + x 6 + c

3 x x 2 + 6 6 - 3 ln ⁡ x 2 + 6 + x 6 + c

x 2 + 6 2 - 3 ln ⁡ x 2 + 6 + x - 3 ln ⁡ 6 + c

x 2 + 6 2 - 3 ln ⁡ x 2 + 6 + x + 3 ln ⁡ 6 + c

Resposta

x 2 + 6 2 - 3 ln ⁡ x 2 + 6 + x + 3 ln ⁡ 6 + c

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