Enunciado

51. No Exemplo 5, modelamos a curva patogênese do sarampo por uma função f . Um paciente infectado pelo vírus tem uma curva patogênese que pode ser modelado por exemplo, por g t = 0,9 f t .

  1. Se for necessário o mesmo patamar de concentração do vírus que no Exemplo 5 para que o contagio comece, em que dia isso ocorre?
  2. Seja P 3 o ponto do gráfico de g t onde o contagio começa. Foi mostrado que o contagio acaba em um ponto P 4 do gráfico de g tal que a reta por P 3 ,   P 4 tem a mesma inclinação que a reta por P 1 ,   P 2 no Exemplo 5(b). Em que dia o contagio acaba?
  3. Calcule o nível de contagio desse paciente.

Passo 1

Falaaa aí galerinha bonita! Tudo joinha?

Show de bolinhas então, no Exemplo 5, a função f t é dada por:

f t = - t t - 21 t + 1

E como aqui queremos uma função tal que g t = 0,9 f t , então:

g t = - 0,9 t t - 21 t + 1

Belezinha, agora que já temos a função podemos ir pra letra (a).

Passo 2

Saca só, o enunciado diz pra gente que o contagio começa com o mesmo patamar de concentração, se a gente for lá no Exemplo 5, vamos ver que esse patamar acontece quando a concentração chega a 1210 ml, portanto, no nosso caso a concentração vai acontecer quando:

g t = - 0,9 t t - 21 t + 1 = 1210

E como a gente é malandro, sabemos que a curva de contagio está crescendo nesse intervalo, por isso podemos assumir que quando a concentração cresce, o tempo cresce também, dessa forma não precisamos encontrar o valor exato de t , apenas o dia em que isso ocorre, por exemplo, no dia 11, temos:

g 11 = - 0,9 ( 11 ) 11 - 21 11 + 1 = 1 188

E para o dia 12, temos:

g 1 2 = - 0,9 ( 1 2 ) 1 2 - 21 1 2 + 1 = 1404

Logo:

1188 < 1210 < 1404

g 11 < g t < g 12

11 < t < 12

Portanto, como já passamos do dia 11, quer dizer que o contágio começa no décimo segundo dia da infecção. Usando a alguma ferramenta de calculadora gráfica com g t = 1210 , podemos conferir o resultado

Encontramos t = 11,26 .

Passo 3

Belezoca então amores, na letra (b), ele diz que a reta que passa por P 3 ,   P 4 tem a mesma inclinação da reta que passa por P 1 ,   P 2 do exemplo 5. E voltando no exemplo 5, vemos que essa inclinação, é dada por m = - 23 . Logo, essa reta no ponto P 3 11.26 ,   1210 é dada por:

y - y 0 = m t - t 0

y - 1210 = - 23 t - 11,26

y = 1469 - 23 t

E a malandragem aqui, é que essa reta cruza nossa curva 2 vezes, uma no ponto P 3 que já conhecemos, e outra no ponto P 4 , que estamos afim de encontrar. Portanto, plotando essa reta na nossa ferramenta gráfica, obtemos o seguinte:

Onde P 4 é dada como P 4 = 17.18 ,       1073.86 , logo t = 17,18 , ou seja, o contagio termina no décimo oitavo dia.

Passo 4

E por fim, na letra (c), o nível de contagio é dado pela área entre a curva de contagio e a reta P 3 P 4 :

Ou seja:

A = ∫ t 1 t 2 g t - y t   d t

A = ∫ 11,26 17,18 - 0,9 t t - 21 t + 1 - 1469 - 23 t   d t

A = - 0,9 ∫ 11,26 17,18 t 3 - 20 t 2 - 21 t   d t - ∫ 11,26 17,18 1 469 - 23 t   d t

A = - 0,9 t 4 4 - 20 3 t 3 - 21 2 t 2 11,26 17,18 - 1469 t - 23 2 t 2 11,26 17,18

A = 7465,62 - 6760,28 = 705,34

Portanto o nível de contagio desse paciente é 705,34   ( c é l u l a s / m L ) . d i a s

Resposta

  1. t = 11,26 , décimo segundo dia
  2. t = 17,18 , décimo oitavo dia
  3. 705,34   ( c é l u l a s / m L ) . d i a s
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