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Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 4.4 - Ex. 14

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14. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = g ( t )

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = g ( t )

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0

Pensando nela, a nossa equação característica, terá o seguinte formato:

r 3 - r 2 + r - 1 = 0

r 2 r - 1 + r - 1 = 0

r 2 + 1 r - 1 = 0

Dessa forma, temos então que as raízes da homogênea associada são:

r = 1

r = ± i  

Passo 2

Aqui, Temos então que a que as raízes da equação característica são r 1 = 1 , r 2 = i e r 3 = - i . Assim, vemos que e t , cos ⁡ t e sen ⁡ t são as soluções da equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

y C t = c 1 e t + c 2 cos ⁡ t + c 3 sen ⁡ t

Passo 3

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W s = W y 1 , y 2 , … , y n s vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m s é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0,0 , … , 0,1 )

Passo 4

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W 1 , cos ⁡ t , sen ⁡ t = e t cos ⁡ t sen ⁡ t e t ' cos ⁡ t ' sen ⁡ t ' e t ' ' cos ⁡ t ' ' sen ⁡ t ' '

= e t cos ⁡ t sen ⁡ t e t - sen ⁡ t cos ⁡ t e t - cos ⁡ t - sen ⁡ t = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 2 e t

Passo 5

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 cos ⁡ t sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t - sen ⁡ t = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Passo 6

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = e t 0 sen ⁡ t e t 0 cos ⁡ t e t 1 - sen ⁡ t = e t sen ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 7

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 3 t = e t cos ⁡ t 0 e t - sen ⁡ t 0 e t - cos ⁡ t 1 = - e t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Y P t = e t ∫ t 0 t g s 1 2 e s d s + cos ⁡ t ∫ t 0 t g s e s sen ⁡ s - cos ⁡ s 2 e s d s + sen ⁡ t ∫ t 0 t g s - e s sen ⁡ s + cos ⁡ s 2 e s d s

Y P t = e t 2 ∫ t 0 t e - s g s d s + cos ⁡ t 2 ∫ t 0 t g s sen ⁡ s - cos ⁡ s d s - sen ⁡ t 2 ∫ t 0 t g s sen ⁡ s + cos ⁡ s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s g s d s + 1 2 ∫ t 0 t g s cos ⁡ t sen ⁡ s - cos ⁡ t cos ⁡ s d s - 1 2 ∫ t 0 t g s sen ⁡ t sen ⁡ s + sen ⁡ t cos ⁡ s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t g s e t - s + cos ⁡ t sen ⁡ s - cos ⁡ t cos ⁡ s - sen ⁡ t sen ⁡ s + sen ⁡ t cos ⁡ s   d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t g s e t - s + cos ⁡ t sen ⁡ s - cos ⁡ t cos ⁡ s - sen ⁡ t sen ⁡ s - sen ⁡ t cos ⁡ s   d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t g s e t - s - cos ⁡ t cos ⁡ s - sen ⁡ t sen ⁡ s + cos ⁡ t sen ⁡ s - sen ⁡ t cos ⁡ s   d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t g s e t - s - cos ⁡ t cos ⁡ s + sen ⁡ t sen ⁡ s - sen ⁡ t cos ⁡ s - cos ⁡ t sen ⁡ s   d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t g s e t - s - cos ⁡ t - s - sen ⁡ t - s   d s

Passo 9

Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é:

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s - cos ⁡ t - s - sen ⁡ t - s g s   d s

Resposta

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s - cos ⁡ t - s - sen ⁡ t - s g s   d s

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