Enunciado

1-4. Seja f a função cujo gráfico é dado. Em quais (se houver) dos intervalos seguintes f é contínua?

2.

a) [ 1 ,   3 ]

b) ( 1 ,   3 )

c) [ 1 ,   2 ]

d) ( 1 ,   2 )

e) [ 2 ,   3 ]

f) ( 2 ,   3 )

Passo 1

Então pessoal, antes de respondermos as questões, devemos lembrar de um pequeno detalhe, que é a notação de ( ) e [ ] em intervalos! Quando há parênteses, isso implica que o intervalo é aberto, ou seja, a função não precisa estar definida exatamente no valor do intervalo, ok? Por outro lado, quando há colchetes, isso implica que o intervalo é fechado e a função está definida exatamente no valor do intervalo!

Outra coisa que vale ressaltar é que o limite não existe se os limites laterais não existirem, beleza? Sabendo disso já podemos responder as questões, então bora lá!

a) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

b) Exatamente pelo mesmo motivo da letra a), podemos dizer que o intervalo não é contínuo. A única diferença aqui é que o intervalo é aberto e o da letra a) é fechado, mas ainda sim possui descontinuidade em x = 2 .

Passo 2

c) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 pela esquerda é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 - ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

d) Como dito no passo anterior, esse intervalo é aberto, ou seja, a função não está definida exatamente no valor do intervalo. Dessa forma, não nos interessa no valor da função em x = 2 , apenas nos valores ENTRE 1 e 2 . Sendo assim, podemos afirmar que o intervalo é contínuo.

Passo 3

e) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 pela direita é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

f) Pelo mesmo motivo da letra d) podemos dizer que o intervalo em questão é contínuo. Como o intervalo é aberto, não interessa se a função está definida nos extremos, apenas ENTRE esses extremos.

Resposta

a) Não é contínuo.

b) Não é contínuo.

c) Não é contínuo.

d) É contínuo.

e) Não é contínuo.

f) É contínuo.

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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x + 2 x 3 4 , em a = - 1 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = e x , x0 x 2 , x ≥ 0 ,a = 0
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = cos ⁡ x , x00 , x = 01 - x 2 , x0 ,a = 0
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = f x = 1 x - 1 , x ≠ 1 2 , x = 1 ,a = 1