Enunciado

a) Do gráfico de f , explique os pontos em que f é descontínua e explique por quê.

b) Para cada um dos pontos indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles.

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão cobra de forma visual o conceito de continuidade. O enunciado nos fornece o gráfico de uma função e pede, no item (a), para procurarmos os pontos em que f não é contínua. No item (b) é pedido para verificar se existem pontos de continuidade lateral. É importante lembrar que uma função é contínua lateralmente em um ponto se um dos limites laterais de f for igual ao valor da função naquele ponto.

Para que o limite da função seja continua, devemos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Isso é, o limite da função e a imagem da função deve ser o mesmo no ponto dado.

Mas na prática, se a gente pensar em desenhar essa curva no papel, os pontos de descontinuidade vão ser quando a gente tira o lápis do papel.

Passo 2

(a) Uma função contínua não tem buracos, saltos ou quinas. Notemos que a função tem um buraco em x = - 4 , o que significa que ela não está definida neste ponto, e saltos em x = - 2 , x = 2 e x = 4 , que significa que seus limites laterais serão diferentes, e consequentemente o limite não existirá. Assim, f não é contínua nesses pontos.

Passo 3

(b) Como x = - 4 é um ponto em que o gráfico de f tem um buraco, significando que não está definida neste ponto, a função não é contínua nem à direita nem à esquerda neste ponto.

Em x = - 2 , f é contínua à esquerda pois o limite lateral à esquerda é igual ao valor da função, isto é,

lim x → - 2 - ⁡ f x = f ( - 2 )

Em x = 2 , f é contínua à direita pois o limite lateral à direita é igual ao valor da função, isto é,

lim x → 2 + ⁡ f x = f ( 2 )

O mesmo ocorre em x = 4 : a função é contínua à direita.

Resposta

a) x = - 4 , x = - 2 , x = 2 e x = 4 .

b) Contínua à direita: x = 2 e x = 4 .

Contínua à esquerda: x = - 2 .

Nenhuma delas: x = - 4 .

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