Enunciado

14.14. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

g r , θ = e - r sin ⁡ θ ,     0 , π 3     v = 3 i - 2 j

Passo 1

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u g r , θ = ∇ g r , θ ⋅ u

Então vamos começar calculando

∇ g r , θ

∇ g r , θ = ∂ g ∂ r i + ∂ g ∂ θ j = - e - r sin ⁡ θ i + e - r cos ⁡ θ j

E precisamos também do u que é um vetor unitário na direção de v . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = v v = 3 i - 2 j 3 2 + ( - 2 ) 2 = 1 13 3 i - 2 j

Passo 2

Agora é só colocar na equação

D u g 0 , π 3 = ∇ g 0 , π 3 ⋅ u

D u g 0 , π 3 = - e - 0 sin ⁡ π 3 i + e - 0 cos ⁡ π 3 j ⋅ 1 13 3 i - 2 j

D u g 0 , π 3 = - 3 2 i + 1 2 j ⋅ 1 2 i + j

D u g 0 , π 3 = 3 3 2 13 - 1 13 = 3 3 + 2 2 13

E terminamos.

Resposta

D u g 0 , π 3 = 3 3 + 2 2 13

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