Enunciado

14.27. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 39

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 39 da seção 7. O enunciado é esse:

“Determine os pontos da superfície z 2 = x y + 1 que estão mais próximos da origem.”

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma

g x , y , z = z 2 - x y - 1 = 0

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , essa seria uma equação para a distância do ponto para a origem.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z >   = < 2 x ,   2 y , 2 z >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >   = < - λ y ,   - λ x , 2 λ z >

Vamos começar fazendo

2 z = 2 λ z

Um dos resultados possíveis é z = 0

Vamos isolar λ , e vamos assumir z ≠ 0

λ = 2 z 2 z = 1

Então λ = 1 .

Vamos usar z = 0 na restrição

z 2 - x y - 1 = 0

0 - x y - 1 = 0

Isso implica

x y = - 1

Ou

x = - 1 y

Agora vamos usar as outras relações

2 x = - λ y

E

2 y = - λ x

Assumindo   x = - 1 y

2 - 1 y = - λ y

Então

λ = 2 y 2

Por outro lado

2 y = - λ - 1 y

λ = 2 y 2

Igualando λ , temos

2 y 2 = 2 y 2

Então

y 4 = 1

Logo

y = ± 1

E como

x = - 1 y

Temos

x = ± 1

Então achamos os pontos de interesse

± 1 ,   ∓ 1 ,   0

Passo 3

Agora fazendo λ = 1 temos

2 x = y

E

2 y = - x

Vamos usar a primeira equação

x = y 2

Substituindo na segunda

2 y = - y 2

2 y + y 2 = 0

y 2 + 1 2 = 0

Então y = 0

Substituindo em

x = y 2

x = 0 2 = 0

Ou seja, x = y = 0

Colocando isso na nossa restrição

z 2 - x y - 1 = 0

z 2 - 1 = 0

Então

z = ± 1

Então nossos pontos são

0 ,   0 ,   ± 1

Passo 4

Só falta saber qual ponto é mínimo, e por tanto, mais próximo à origem

f ± 1 , ∓ 1 , 0 = ± 1 2 + ∓ 1 2 + 0 2 = 2

E

f 0 , 0 , ± 1 = 0 2 + 0 2 + ± 1 2 = 1

Então

f ± 1 , ∓ 1,0 > f 0,0 , ± 1

Logo

0,0 , ± 1   é o ponto mais perto da origem.

Resposta

( 0,0 , ± 1 )

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