Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 27
14.27. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 39
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 39 da seção 7. O enunciado é esse:
“Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.”
Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , essa seria uma equação para a distância do ponto para a origem.
Passo 2
Vamos calcular o divergente
E também precisamos do divergente de
Vamos começar fazendo
Um dos resultados possíveis é
Vamos isolar , e vamos assumir
Então .
Vamos usar na restrição
Isso implica
Ou
Agora vamos usar as outras relações
E
Assumindo
Então
Por outro lado
Igualando , temos
Então
Logo
E como
Temos
Então achamos os pontos de interesse
Passo 3
Agora fazendo temos
E
Vamos usar a primeira equação
Substituindo na segunda
Então
Substituindo em
Ou seja,
Colocando isso na nossa restrição
Então
Então nossos pontos são
Passo 4
Só falta saber qual ponto é mínimo, e por tanto, mais próximo à origem
E
Então
Logo
é o ponto mais perto da origem.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais