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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 14.7 - Ex. 14

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14.14. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.

f x , y = x 2 + y 2 + 1 x 2 y 2

Passo 1

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x 2 + y 2 + 1 x 2 y 2

f x , y = x 2 + y 2 + x - 2 y - 2

Vamos derivar primeiro em relação à x

f x = 2 x - 2 x - 3 y - 2

E agora em relação a y

f y = 2 y - 2 x - 2 y - 3

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = 2 x - 2 x - 3 y - 2 = 0

f y = 2 y - 2 x - 2 y - 3 = 0

Vamos usar a primeira equação

2 x - 2 x - 3 y - 2 = 0

2 x = 2 x - 3 y - 2

Vamos dividir por 2

x = x - 3 y - 2

Agora a gente divide por x - 3 y - 2

x 4 y 2 = 1

Ou

x - 4 = y 2

Nesse caso nem x e nem y podem ser 0 , se não vai ocorrer uma divisão por 0 e isso não pode acontecer.

Agora analisando f y , vamos chegar numa coisa semelhante

2 y - 2 x - 2 y - 3 = 0

2 y = 2 x - 2 y - 3

Vamos dividir por 2 x - 2 y - 3

y 4 x 2 = 1

Mas sabemos que

y 2 = x - 4

Substituindo

x - 6 x 2 = 1

Então

x 4 = 1

Logo

x = ± 1

Agora vamos determinar os valores de y , se x = 1

y 4 1 2 = 1

y 4 = 1

Logo

y = ± 1

Agora se x = - 1

y 4 - 1 2 = 1

y 4 = 1

Logo

y = ± 1

Então temos os pontos

1 ,   1 ,   1 , - 1 ,   - 1,1   e   - 1 , - 1

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = 2 x - 2 x - 3 y - 2

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ 2 x - 2 x - 3 y - 2 ∂ x = 2 + 6 x - 4 y - 2

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = 2 y - 2 x - 2 y - 3

Derivando em relação a y

f y y = ∂ 2 y - 2 x - 2 y - 3 ∂ y = 2 + 6 x - 2 y - 4

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = 2 x - 2 x - 3 y - 2

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ 2 x - 2 x - 3 y - 2 ∂ y = 4 x - 3 y - 3

Então

D x , y = 2 + 6 x - 4 y - 2 ⋅ 2 + 6 x - 2 y - 4 - 4 x - 3 y - 3 2

Passo 4

Vamos testar para o ponto 1 ,   1

D 1 ,   1 = 2 + 6 1 - 4 1 - 2 ⋅ 2 + 6 1 - 2 1 - 4 - 4 ( 1 ) - 3 ( 1 ) - 3 2 = - 1

D 1 ,   1 = 64 - 16 = 48

Então

D 1 ,   1 > 1

Então temos que verificar f x x

f x x 1,1 = 2 + 6 ( 1 ) - 4 ( 1 ) - 2

f x x 1,1 = 8 > 0

Repare que não existe um ponto que faça f x x ser negativo.

Logo esse ponto é de mínimo. Repare que esse cálculo seria o mesmo para todos os outros pontos, pois os pontos tem valor 1 em módulo, e estão elevados a um número par, então serão sempre positivos. Logo todos os pontos são de mínimos

Passo 5

Agora só falta fazer o gráfico.

Resposta

1 ,   1 ,   1 , - 1 ,   - 1,1   e   - 1 , - 1 são os pontos que nos interessam e são todos pontos de mínimo.

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