Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 12
15.12. Calcule a integral iterada.
Passo 1
Vamos lá, temos que resolver a integral
Uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em e depois em , porque vem antes que vem antes que . É a mesma coisa que
Passo 2
Então a gente pode resolver separadamente, começando por
Lembrando que nessa integral o é constante.
Para resolver essa integral precisamos usar a substituição
Então
A gente já já coloca os limites de volta
Agora podemos usar a regra da potência para a integração
Agora voltando da substituição
Com os limites
Passo 3
Beleza, calculamos
Então nossa integral fica
E agora podemos integrar em .
Agora podemos reescrever a integral assim
Agora a gente tem a subtração de duas integrais bem parecidas para resolver, vamos começar a resolver
Para resolver essa integral vamos fazer essa substituição
Olha o que aconteceu aqui que interessante
Então
Usando a regra da potência
Voltando da substituição
Nos limites
Agora a segunda integral
Que é muito parecida com a primeira, com a diferença que aqui é e não , mas essencialmente não tem diferença na integral, pois só muda o valor da constante, então
Então
Então
Finalmente terminamos.