Enunciado

15.12. Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y d x

Passo 1

Vamos lá, temos que resolver a integral

int_0^1 int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y d x

Uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em y e depois em x , porque d x vem antes que vem antes que d y . É a mesma coisa que

int_0^1 (int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y) d x

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y

Lembrando que nessa integral o x é constante.

x int_0^1 (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y

Para resolver essa integral precisamos usar a substituição

u = x^2 + y^2 + 1 d u = 2 y d y (d u)/(2) = y d y

Então

(x)/(2) int (1)/(sqrt(u)) d u

A gente já já coloca os limites de volta

(x)/(2) int (1)/(sqrt(u)) d u = (x)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u

Agora podemos usar a regra da potência para a integração

(x)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u = (x)/(2) * 2 * u^((1)/(2)) = x * u^((1)/(2))

Agora voltando da substituição

x * u^((1)/(2)) = x * (x^2 + y^2 + 1)^((1)/(2))

Com os limites

[x * sqrt((x^2 + y^2 + 1))]_0^1 = x [sqrt((x^2 + 1^2 + 1)) - sqrt((x^2 + 0^2 + 1))]

= x [sqrt(x^2 + 2) - sqrt(x^2 + 1)] = x sqrt(x^2 + 2) - x sqrt(x^2 + 1)

Passo 3

Beleza, calculamos

int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y

Então nossa integral fica

int_0^1 (int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y) d x

int_0^1 (x sqrt(x^2 + 2) - x sqrt(x^2 + 1)) d x

E agora podemos integrar em x .

Agora podemos reescrever a integral assim

int_0^1 (x sqrt(x^2 + 2) - x sqrt(x^2 + 1)) d x = int_0^1 x sqrt(x^2 + 2) d x - int_0^1 x sqrt(x^2 + 1) d x

Agora a gente tem a subtração de duas integrais bem parecidas para resolver, vamos começar a resolver

int_0^1 x sqrt(x^2 + 2) d x

Para resolver essa integral vamos fazer essa substituição

u = sqrt(x^2 + 2) d u = (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x

Olha o que aconteceu aqui que interessante

d u = (x)/(u) d x u d u = x d x

Então

int u u d u = int u^2 d u

Usando a regra da potência

int u^2 d u = (u^3)/(3)

Voltando da substituição

(u^3)/(3) = [((x^2 + 2)^((3)/(2)))/(3)]

Nos limites

[((x^2 + 2)^((3)/(2)))/(3)]_0^1 = (1)/(3) ((1^2 + 2)^((3)/(2)) - (0^2 + 2)^((3)/(2)))

= (1)/(3) (3^((3)/(2)) - 2^((3)/(2)))

Agora a segunda integral

int_0^1 x sqrt(x^2 + 1) d x

Que é muito parecida com a primeira, com a diferença que aqui é x^2 + 1 e não x^2 + 2 , mas essencialmente não tem diferença na integral, pois só muda o valor da constante, então

int_0^1 x sqrt(x^2 + 1) d x = [((x^2 + 1)^((3)/(2)))/(3)]_0^1

[((x^2 + 1)^((3)/(2)))/(3)]_0^1 = (1)/(3) ((1^2 + 1)^((3)/(2)) - (0^2 + 1)^((3)/(2)))

= (1)/(3) (2^((3)/(2)) - 1)

Então

int_0^1 (x sqrt(x^2 + 2) - x sqrt(x^2 + 1)) d x = (1)/(3) ((3^((3)/(2)) - 2^((3)/(2))) - (2^((3)/(2)) - 1))

= (1)/(3) (3^((3)/(2)) - 4^((3)/(2)) + 1) = (1)/(3) (3 sqrt(3) - 4 sqrt(3) + 1)

Então

int_0^1 int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y d x = (1)/(3) (3 sqrt(3) - 4 sqrt(3) + 1)

Finalmente terminamos.

Resposta

int_0^1 int_0^1 (x y)/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)) d y d x = (1)/(3) (3 sqrt(3) - 4 sqrt(3) + 1)

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