Enunciado

14.3. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s)

f x , y = x 2 - y 2 ;                           x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Para começar o exercício, temos que determinar os multiplicadores de Lagrange.

Para isso vamos começar calculando o divergente de f ( x , y )

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y >   = < 2 x ,   - 2 y >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y >   = < 2 λ x ,   2 λ y >

Então nós temos que

2 x = 2 λ x

O que implica λ = 1 ou x = 0 .

Se usarmos x = 0 na restrição temos

x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1

Isso implica

y = ± 1

Por outro lado

- 2 y = 2 λ y

se substituirmos λ = 1 implica que y = 0 . Se a gente substituir y = 0 na restrição, temos

x 2 + y 2 = 1

x 2 = 1

Isso implica x = ± 1

Passo 2

Então nós temos que

2 x = 2 λ x

O que implica λ = 1 ou x = 0 .

Se usarmos x = 0 na restrição temos

x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1

Isso implica

y = ± 1

Então daqui concluímos que os pontos

0,1 e   0 , - 1

São pontos críticos.

Por outro lado

- 2 y = 2 λ y

se substituirmos λ = 1 implica que y = 0 . Se a gente substituir y = 0 na restrição, temos

x 2 + y 2 = 1

x 2 = 1

Isso implica x = ± 1 .

E daqui concluímos que os pontos

1 , 0   e     - 1 , 0

São pontos críticos.

Passo 3

Agora vamos determinar se os pontos que encontramos são valores máximos ou mínimos.

f x , y = x 2 - y 2

f 0 , ±   1 = 0 2 - ± 1 2 = - 1

Por outro lado

f ± 1 ,   0 = ± 1 2 - 0 2 = 1

Então

( ± 1,0 )

São os limites máximos e

0 , ± 1

São os limites mínimos.

Resposta

( ± 1,0 )

São os limites máximos e

0 , ± 1

São os limites mínimos.

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