Enunciado

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14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

14 )   f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ;

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

Passo 1

Devemos achar os valores de λ ,   x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n que satisfaçam a equação ∇ f = λ ∇ g e g x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2   =   ∑ i = 1 n x i 2   = 1 . Os pontos ( x 1 ,   x 2 ,   . . .   ,   x n ) resultantes serão possíveis pontos de máximo ou mínimo de f ( x 1 ,   x 2 ,   . . .   ,   x n ) dada a restrição   g ( x 1 ,   x 2 ,   . . .   ,   x n ) . O máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x 1 ,   x 2 ,   . . .   ,   x n ) .

Passo 2

∇ f = λ ∇ g

f x 1 , f x 2 ,   . . . , f x n   = λ g x 1 , g x 2 ,   . . . , g x n

1,1 ,   … ,   1 = λ 2 x 1 , 2 x 2 ,   … , 2 x n

Temos o seguinte sistema:

  1. 1 = 2 λ x i ,   i = 1,2 ,   . . .   , n
  2. ∑ i = 1 n x i 2 = 1

De I, temos que nem λ nem qualquer x i podem ser iguais a 0 . Então,

x i = 1 2 λ ,   i = 1,2 ,   … , n

Substituindo essa relação em II, temos

∑ i = 1 n 1 2 λ 2 = 1 = n 1 2 λ 2

de onde achamos...

1 = n 1 2 λ 2   →

1 2 λ 2 = 1 n     →

1 2 λ = ± 1 n     →

λ = ± n 2

Se λ = n 2 , teremos x i = 1 2 λ = 1 n , i = 1,2 ,   … , n e

f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n

f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n

f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = ∑ i = 1 n 1 n = n 1 n = n

ponto que corresponde ao máximo.

Se λ = - n 2 , teremos x i = - 1 n , i = 1,2 ,   … , n

f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - ∑ i = 1 n 1 n = - n 1 n = - n

ponto que corresponde ao mínimo.

Resposta

Máximo: f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = n Mínimo: f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - n

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