Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = - 3 cos theta

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa questão, assim como na anterior, temos o r em função de theta , para construirmos esse gráfico podemos calcular o r para diversos ângulos e estimar o gráfico, ou podemos mudar para coordenadas cartesianas.

Passo 2

Utilizando o segundo método novamente, sabemos que x = r ��� cos theta , se isolarmos o cos theta ficamos com

cos theta = (x)/(r)

Substituindo na equação

r = - 3 * (x)/(r)

Multiplicando r dos dois lados

r^2 = - 3 x

Outra relação importante é que x^2 + y^2 = r^2 , substituindo temos

x^2 + y^2 = - 3 x

Passo 3

Essa fórmula tem como cara uma circunferência deslocada, igual da ultima questão, para descobrirmos o raio e o centro, precisaremos compretar quadrado.

Para isso vamos passar todos os termos para a esquerda e destacar com o que vamos trabalhar

overset(⏜)(x^2 + 3 x) + y^2 = 0

Temos que transformar essa parte x^2 + 3 x em algo da forma (x + a)^2 + c , isto é um quadrado de uma soma, um quadrado perfeito mais uma constante qualquer, portanto na igualdade

x^2 + 3 x = (x + a)^2 + c

Abrindo o quadrado em parênteses

x^2 + 3 x = x^2 + 2 a x + a^2 + c

Pela igualdade de polinômios temos o seguinte sistema:

2 a = 3 => a = (3)/(2)

a^2 + c = 0 => c = - a^2 => c = - (9)/(4)

Então

x^2 + 3 x = (x + (3)/(2))^2 - (9)/(4)

Substituindo na nossa equação temos

x^2 + 3 x + y^2 = 0

(x + (3)/(2))^2 - (9)/(4) + y^2 = 0

Somando (9)/(4) dos dois lados chegamos em

(x + (3)/(2))^2 + y^2 = (9)/(4)

Passo 4

Essa é a fórmula de uma circunferência de raio (3)/(2) centrada no ponto (- (3)/(2) , 0) .

No plano:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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