Enunciado

14-Uma piscina tem 10m de largura, 20m de comprimento, 1m de profundidade nas extremidades e 3m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados. Despeja-se água na piscina a uma taxa de 0,3 m 3 / m i n . Seja h a altura da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade h estará variando no instante em que h= 1 m ?

20m

1m

3m

h

Passo 1

Inicialmente, notemos que o volume V de água na piscina pode ser calculado dependendo da altura da água.

Neste caso, separemos a questão em dois casos, e escolhemos depois qual é o mais adequado para o problema.

Primeiro caso: h ≤ 2

V = 1 2 10 b h

Em que b é a base da superfície triangular do prisma.

Segundo caso: 2 < h ≤ 3

V = 1 2 10.20.2 + h - 2 . 20 = 200 + 20 ( h - 2 )

Note que o problema pede a variação de h no instante em que h é 1 metro. Portanto, utilizaremos o primeiro caso.

Passo 2

Agora, precisamos calcular b em função de alguma das variáveis conhecidas.

Note que temos um caso de semelhança de triângulos:

b 20 = h 3 - 1 = h 2

Assim, temos que: b = 10 h

Substituindo na equação do volume, segue que:

V = 1 2 10.10 h . h = 50 h 2

Passo 3

Agora que temos uma expressão que relaciona o volume com a altura da água na piscina, podemos derivar para trabalharmos com as taxas de variação:

d V d t = 100 h d h d t

Como a questão nos disse que a água é despejada a uma taxa de 0,3 m 3 / m i n , temos:

0,3 = 100 h . d h d t

No instante em que h=1m, a taxa de variação da altura é de:

d h d t = 0,3 100.1 = 0,003 m / m i n

Resposta

d h d t = 0,003 m / m i n

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