15.1. Determine ∫ 0 3 f ( x , y ) d x e ∫ 0 4 f ( x , y ) d y .

f(x, y) = 2x + 3x^2y

Passo 1

Vamos resolver essas integrais, a primeira integral fica o seguinte

∫ 0 3 ( 2 x + 3 x 2 y ) d x

Agora estamos integrando só em x , então fica

∫ 0 3 ( 2 x + 3 x 2 y ) d x = x 2 + x 3 y 0 3

Substituindo

∫ 0 3 ( 2 x + 3 x 2 y ) d x = 3 2 + 3 3 y - 0 2 + 0 3 y = 9 + 27 y

Passo 2

Agora falta a segunda integral

∫ 0 4 ( 2 x + 3 x 2 y ) d y

Essa aqui a gente está integrando em y

Ficamos com

∫ 0 4 2 x + 3 x 2 y d y = 2 x y + 3 2 x 2 y 2 0 4

Substituindo os limites

∫ 0 4 2 x + 3 x 2 y d y = 2 x ( 4 ) + 3 2 x 2 ( 4 ) 2 - 2 x 0 + 3 2 x 2 0 2 = 8 x + 24 x 2

Resposta

∫ 0 3 2 x + 3 x 2 y d x = 3 2 + 3 3 y - 0 2 + 0 3 y = 9 + 27 y

∫ 0 4 2 x + 3 x 2 y d y = 8 x + 24 x 2

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