Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do plano 3 ⋅ x + 2 ⋅ y + z = 6 que está no primeiro octante.

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício a relação para área da superfície dada por

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Passo 2

Temos que nossa função é z = 6 - 3 ⋅ x - 2 ⋅ y . Para encontrarmos a parte que está no primeiro octante, precisamos achar a intersecção de z no plano x y , ou seja, o encontro de z com 3 ⋅ x + 2 ⋅ y = 6 . Mantendo x fixo e variando y , temos que nossos intervalos serão:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 3 - 3 2 ⋅ x

Aplicando então a nossa integral dupla para a área e substituindo os valores, temos que

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A = ∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 2 ⋅ x - 3 2 + - 2 2 + 1 ⋅ d y ⋅ d x =

= 14 ⋅ ∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 2 ⋅ x d y ⋅ d x = 14 ⋅ ∫ 0 2 3 - 3 2 ⋅ x ⋅ d x = 14 ⋅ 3 ⋅ x 0 2 - 3 4 ⋅ x 2 0 2 =

= 14 ⋅ 6 - 3 = 3 ⋅ 14

Resposta

A S = 3 ⋅ 14

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