Enunciado

15.10. O mapa de contornos mostra a temperatura, em graus Fahrenheit, às 3 horas da tarde do dia 1° de maio de 1996, no Estado do Colorado. (O Estado mede 388 mi de leste a oeste e 276 mi de norte a sul.) Utilize a Regra do Ponto Médio com m = n = 4 para estimar a temperatura média do Colorado nessa hora.

Passo 1

Bom, a temperatura é dada por

T = 1 A R ∫ ∫ R f x , y d A = 1 388 ⋅ 276 ∫ ∫ R f x , y d A

Passo 2

Bem a gente precisa usar o teorema do ponto médio aqui, assim o enunciado pede. O teorema é o seguinte

∫ ∫ R f x , y d A ≈ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f x i - , y j - ⋅ ∆ A

O enunciado nos diz que m = n = 4 , agora o trabalho que temos que fazer é subdividir a imagem, em 4 retângulos na direção de x e 4 na direção de y , ou seja, 16 retângulos.

Então ∆ A que é a área de um subretângulo, fica o seguinte

∆ A = 388 4 ⋅ 276 4 = 6693

Passo 3

Já temos informações para usar o teorema do ponto médio

∫ ∫ R f x , y d A ≈ ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 4 f x i - , y j - ⋅ 6693

Agora para obter os valores dos pontos médios, a gente olha para imagem, por exemplo, o ponto médio do primeiro subretângulo é 388 8 , 276 8 , de acordo com a imagem, a temperatura nesse ponto é próxima de 72.

Então

∫ ∫ R f x , y d A

≈ 6693 f 388 8 , 276 8 + f 388 8 , 276   3 8 + f 388 8 , 276   5 8 + … + f 388   7 8 , 276   7 8

∫ ∫ R f x , y d A ≈ 6693 ⋅ ( 1111,5 )

Passo 4

Agora podemos determinar a temperatura

T = 1 388 ⋅ 276 ∫ ∫ R f x , y d A

T = 1 388 ⋅ 276 6693 ⋅ ( 1111,5 )

Fazendo essa conta

T ≈ 69,5

Então, no Colorado, no dia primeiro de maio de 1996, às três horas da tarde, estava uma temperatura de aproximadamente 69,5 ° Fahrenheit

Resposta

T ≈ 69,5 °

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