Enunciado

(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?

(b) Se f x ,   y é contínua em a ,   b × c ,   d e

g x ,   y = ∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t   d s

para a < x < b   ,     c < y < d   , mostre que g x y = g y x = f x ,   y .

Passo 1

(a) O teorema de Fubini diz que a ordem de integração de uma função de duas variáveis não afeta o valor da integral dupla, enquanto o teorema de Clairaut diz que a ordem da diferenciação de uma função não afeta o valor da derivada de segunda ordem.

Além disso, ambos os teoremas requerem continuidade.

Passo 2

(b) Para encontrar g x y , podemos considerar y como constante e aplicar o teorema fundamental do cálculo para uma variável:

g x = d d x g x ,   y = d d x ∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t d s = ∫ c y f ( x ,   t )   d t

E usando novamente o teorema fundamental do cálculo:

g x y = d d y ∫ c y f ( x ,   t )   d t = f ( x ,   y )

Passo 3

Agora, para encontrar g y x , nós primeiramente usamos o teorema de Fubini para escrever:

∫ a x ∫ c y f ( s ,   t )   d t   d s = ∫ c y ∫ a x f ( s ,   t )   d s   d t

Depois, fazemos bastante analogamente ao que fizemos para encontrar g x y , usando o teorema fundamental do cálculo duas vezes:

g y = d d y g x ,   y = d d y ∫ c y ∫ a x f ( s ,   t )   d s d t = ∫ a x f ( s ,   y )   d s

g y x = d d x ∫ a x f ( s ,   y )   d s = f ( x ,   y )

Então,

g x y = g y x = f x ,   y

como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d ud v
Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície z = x sec 2 ⁡ y e pelos planos z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = π 4 .
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1 ,1 × - 2 ,2 .
Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado. f x ,y = e y x + e y, R = 0 ,4 × [ 0 ,1 ]
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d xd y