Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 40
(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes?
(b) Se é contínua em e
para mostre que .
Passo 1
(a) O teorema de Fubini diz que a ordem de integração de uma função de duas variáveis não afeta o valor da integral dupla, enquanto o teorema de Clairaut diz que a ordem da diferenciação de uma função não afeta o valor da derivada de segunda ordem.
Além disso, ambos os teoremas requerem continuidade.
Passo 2
(b) Para encontrar , podemos considerar como constante e aplicar o teorema fundamental do cálculo para uma variável:
E usando novamente o teorema fundamental do cálculo:
Passo 3
Agora, para encontrar , nós primeiramente usamos o teorema de Fubini para escrever:
Depois, fazemos bastante analogamente ao que fizemos para encontrar , usando o teorema fundamental do cálculo duas vezes:
Então,
como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)