Enunciado

  1. Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x y e acima do retângulo
  2. R = x , y | 0 ≤ x ≤ 6 ,   0 ≤ y ≤ 4

    Utilize a soma de Riemann com m = 3 , n = 2 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.

  3. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte (a).

Passo 1

  1. Primeiro vamos ver na figura abaixo os subretângulos que vamos usar:
  2. Temos que a superfície é o gráfico de f x , y = x y e vamos ter que ∆ A é a área de cada retângulo, então ∆ A = 2 ∙ 2 = 4 , e que m = 3 e n = 2 , então usando a soma de Riemann para estimar o volume temos:

    V ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 f x , y ∆ A

    = f 2,2 ∆ A + f 2,4 ∆ A + f 4,2 ∆ A + f 4,4 ∆ A + f 6,2 ∆ A + f 6,4 ∆ A

    = 4 ⋅ 4 + 8 ⋅ 4 + ( 8 ⋅ 4 ) + ( 16 ⋅ 4 ) + ( 12 ⋅ 4 ) + ( 24 ⋅ 4 ) = 288

    Passo 2

  3. Agora usando a regra do ponto médio a diferença vai ser no ponto do intervalo utilizado, que vai ser o ponto médio de cada intervalo, e no ∆ A , que será a área de cada subretângulo ( ∆ A = 2 ∙ 2 = 4 ):

V ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 f x - , y - ∆ A

= f 1,1 ∆ A + f 1,3 ∆ A + f 3,1 ∆ A + f 3,3 ∆ A + f 5,1 ∆ A + f 5,3 ∆ A

= ( 1 ⋅ 4 ) + ( 3 ⋅ 4 ) + ( 3 ⋅ 4 ) + ( 9 ⋅ 4 ) + ( 5 ⋅ 4 ) + ( 15 ⋅ 4 ) = 144

Resposta

  1. V ≈ 288
  2. V ≈ 144
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Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3d yd x e ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3d xd y Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o que acontece.
Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1 + e xs e ny e pelos planos x = ± 1,y = 0,y = π e z = 0 .
Desenhe o sólido que está entre a superfície z = 2 x y x 2 + 1 e o plano z = x + 2 y e é limitado pelos planos x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4 . A seguir, determine seu volume.
Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e pelo plano y = 5 .
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in