Enunciado

15-Num determinado instante θ = π 3 e está variando, nesse instante, a uma taxa de 0,01 radianos por segundo (veja figura). A que taxa estará variando o ângulo α nesse instante?

5m

θ α

2m

Passo 1

Inicialmente, pela lei dos senos, temos que:

5 s e n α = 2 s e n π - θ - α

Note que s e n π - θ - α = s e n θ + α

Então conseguimos encontrar uma relação que relaciona θ   e   α :

5 s e n θ + α = 2 s e n α

Passo 2

Agora, derivamos em relação a t, de modo a encontrar a taxa de variação de α .

2 c o s α . d α d t = 5 c o s c o s   θ + α   d α d t + d θ d t

Desenvolvendo a expressão:

2 c o s α . d α d t = 5 c o s θ c o s α - s e n θ s e n α d α d t + d θ d t

Agora, como c o s α ≠ 0 , pois α ∈ 0 , π , podemos dividir ambos os lados da equação por c o s α .

Logo:

2 d α d t = 5 c o s θ - s e n θ . s e n α c o s α d α d t + d θ d t

Assim, no momento em que θ = π 3 ,   s e n θ = 3 2   e   c o s θ = 1 2 , além de que d α d t = 0,01 .

Passo 3

Chamemos de x a medida do lado oposto ao ângulo θ .

Pela lei dos cossenos, temos que x 2 = 5 2 + 2 2 - 2.5 . 2 . c o s θ = 29 - 20 c o s θ

Quando θ = π 3 , temos x 2 = 29 - 10 = 19 . Assim, x = 19

Novamente pela lei dos cossenos, temos que

5 2 = 2 2 + 19 2 - 2.2 . 19 . c o s α

De onde segue que:

c o s α = - 1 2 . 19

Passo 4

Agora que achamos o valor de c o s α quando θ = π 3 , temos de achar o valor de s e n α

Para isso, utilizaremos a relação fundamental da trigonometria:

s e n 2 α + α = 1  

Substituindo o valor de c o s α   na expressão, temos:

s e n 2 α + 1 4.19 = 1

Resolvendo:

s e n 2 α = 1 - 1 76 = 75 76

Como c o s α < 0 , temos que α está no segundo quadrante. Isto é: π 2 < α < π

Portanto, o valor que o seno do ângulo assumirá será positivo.

Daí, temos:

s e n α = 5 3 2 19

Passo 5

Substituindo os valores do seno e do cosseno na expressão encontrada no passo 2, segue que:

2 . d α d t = 5 1 2 - 3 2 - 5 3 d α d t + 0,01

Resolvendo:

2 . d α d t = 5 1 2 + 15 2 d α d t + 0,01

d α d t = 5.4 d α d t + 1 100

- 19 . d α d t = 1 5

d α d t = - 1 95

Resposta

d α d t = - 1 95

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Consulte o Exercício 40, da série de Exercícios 3.2. Um fabricante pode obter um lucro de $ 20 em cada item, se forem produzidos por semana no máximo 800 itens. O lucro decresce $ 0,02 por item acima
Resolve o exercício 17 , se a redução por estudante que exceder 150 for de$ 0,07 .
Mostre que o maior retângulo tendo um perímetro dado de p unidades é um quadrado.
Resolva o Exemplo 1 desta secção se o ponto C estiver a 6 km rio abaixo de B .
O Exemplo 1 e os exercícios 11, 12 e 13 são casos particulares do seguinte problema geral. Seja f x = u a 2 + x 2 + v b - x onde x está em 0 ,b e uv0 . Mostre que para o valor mínimo absoluto de f oco