Enunciado

Mostre que o maior retângulo tendo um perímetro dado de p unidades é um quadrado.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

No Exercício 10 dessa mesma seção, nós fizemos um exercício que nos deu uma resposta parecida com a que o exercício atual quer que mostremos. Mas vamos lá! A questão quer o maior retângulo, então a função que queremos maximizar é a função área do retângulo! Seja um retângulo com comprimento x e largura y , sua área será dada pela seguinte equação:

A x ,   y = x ∙ y

Mas nesse caso o perímetro do retângulo é conhecido e é dado pela equação:

p = 2 x + 2 y

Se isolarmos uma das variáveis aqui podemos jogá-la na função da área e ficar com uma variável só! Isolando o y :

y = p - 2 x 2

Agora jogando isso na equação da área:

A x = x p - 2 x 2

A x = 1 2 p x - 2 x 2

A x = - x 2 + 1 2 p x

Temos a nossa função! Agora é só derivá-la em função de x e igualá-la a 0 para encontrar o ponto de máximo para x .

Passo 3

Derivando:

d A d x = - 2 x + 1 2 p

Igualando a 0 :

- 2 x + 1 2 p = 0

2 x = 1 2 p

x = 1 4 p

Passo 4

Agora precisamos analisar o resultado que encontramos. Encontramos que x é responsável por 1 4 do perímetro do retângulo, então os dois lados do retângulo que possui tamanho 2 x juntos são responsáveis por 1 2 do perímetro. Então os outros dois lados de tamanho y devem ser responsáveis pela outra metade do perímetro! E se o perímetro é dividido igualmente para cada lado, x = y ! Podemos mostrar isso analiticamente também, da relação acima podemos isolar o p :

p = 4 x

E também temos a outra restrição para o perímetro:

p = 2 x + 2 y

Igualando ambas:

4 x = 2 x + 2 y

E daí:

4 x - 2 x = 2 y

2 x = 2 y

Ou seja:

x = y

E se os dois lados do retângulo são iguais, ficaremos com um quadrado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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