∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 . cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Galerinha, para resolver essa integral nós temos que nos lembrar de uma coisa, o 1 ° teorema fundamental do cálculo:

Se for integrável em [ a ,   b ] e se F for uma primitiva de f em [ a ,   b ] , então

∫ a b f x   d x = F b - F ( a )

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( x ) para encontrar a nossa primitiva F ( x ) , e depois substituir os limites de integração.

Bora lá!

Passo 2

Antes de integrar, vamos dar uma mexida na função para ela ficar com uma cara mais de integrar?!

Separando a integral em duas, ficamos com

∫ 0 π 2 1 2 d x + ∫ 0 π 2 1 2 . cos ⁡ 2 x d x

A primeira a gente resolver de forma direta né!

∫ 0 π 2 1 2 d x = 1 2 x

Na segunda temos que usar uma de nossas técnicas da integração.

Passo 3

Para resolver essa integral

∫ 0 π 2 1 2 . cos ⁡ 2 x d x

Vamos fazer uma substituição simples, onde:

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

Fazendo a substituição, ficamos com

∫ cos ⁡ u d u = se n ⁡ u

Voltando de u para 2 x , temos que

∫ 0 π 2 1 2 . cos ⁡ 2 x d x = [ se n ⁡ 2 x ]

Agora vamos juntas as integrais e calcular o limite de integração

Passo 4

Então temos que,

∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 . cos ⁡ 2 x d x = 1 2 x + se n ⁡ 2 x π 2 0

Substituindo,

= 1 2 π 2 + se n ⁡ 2 π 2 - 1 2 0 + se n ⁡ 2 0 = π 4

Resposta

∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 . cos ⁡ 2 x d x = π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados