17-40 Encontre os limites.

20. lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( x + 1 x )

Passo 1

Como a função logaritmo é contínua em toda parte, segue que

lim x → + ∞ ⁡ l n x + 1 x = ln ⁡   ( l i m x → + ∞ x + 1 x )

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x encontrada na nossa razão. (Note que não alteraremos a fração original). Assim, obtemos

ln ⁡   ( l i m x → + ∞ x + 1 x ) = ln ⁡   ( l i m x → + ∞ x x + 1 x x x )

ln ⁡   ( l i m x → + ∞ 1 + 1 x 1 )

Sabemos que lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0 . Com isso, temos que

ln ⁡   ( l i m x → + ∞ 1 + 1 x 1 ) = l n ⁡ ( 1 )

ln ⁡ 1 = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( x + 1 x ) = 0

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