17-40 Encontre os limites.

36. lim h → 0 ⁡ 1 - c o s 3 h cos 2 ⁡ 5 h - 1

Passo 1

Vamos começar reescrevendo o nosso denominador da seguinte forma:

s e n 2 5 h = 1 - cos 2 ⁡ 5 h

- s e n 2 5 h = cos 2 ⁡ 5 h - 1

Nós apenas utilizamos aquela identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno de um ângulo.

Substituindo no nosso limite, vamos ter:

lim h → 0 ⁡ 1 - c o s 3 h cos 2 ⁡ 5 h - 1 = lim h → 0 ⁡ 1 - c o s 3 h - s e n 2 5 h

Passo 2

Agora, vamos multiplicar o denominador e o numerador por 1 + cos ⁡ 3 h para obtermos aquele produto notável no numerador.

lim h → 0 ⁡ 1 - c o s 3 h - s e n 2 5 h = lim h → 0 ⁡ 1 - c o s 3 h - s e n 2 5 h . ( 1 + cos ⁡ 3 h ) ( 1 + cos ⁡ 3 h )

lim h → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ 3 h - s e n 2 5 h ( 1 + cos ⁡ 3 h )

Utilizando a mesma identidade trigonométrica do passo anterior, obtemos

lim h → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ 3 h - s e n 2 5 h ( 1 + cos ⁡ 3 h ) = lim h → 0 ⁡ s e n 2 3 h - s e n 2 5 h ( 1 + cos ⁡ 3 h )

Passo 3

Fazendo algumas manipulações, teremos

lim h → 0 ⁡ s e n 2 3 h - s e n 2 5 h ( 1 + cos ⁡ 3 h ) = lim h → 0 ⁡ s e n 2 3 h h 2 - s e n 2 5 h ( 1 + cos ⁡ 3 h ) h 2

l i m s e n 2 3 h h 2 h → 0 l i m h → 0 - s e n 2 5 h 1 + cos ⁡ 3 h h 2

l i m 9 s e n 2 3 h 9 h 2 h → 0 l i m h → 0 - 25 s e n 2 5 h 1 + cos ⁡ 3 h 25 h 2

9 l i m s e n 3 h 3 h h → 0 lim h → 0 ⁡ s e n 3 h 3 h - 25 l i m h → 0 s e n 5 h   5 h lim h → 0 ⁡ s e n 5 h   5 h lim h → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ 3 h

9 - 25 lim h → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ 3 h

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Resposta

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