Enunciado

18. Explique por que a função é descontinua no número dado a . Esboce o gráfico da função.

f x = 1 x + 2 ,     x ≠ - 2 1 ,     x = - 2           a = - 2

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x = 1 x + 2 ,     x ≠ - 2 1 ,     x = - 2           a = - 2

E pede pra a gente explicar porque a função é descontínua em a = - 2 .

Beleza, sabemos que uma função é contínua se:

lim x → a ⁡ f x = f a

Pra isso acontecer devemos obedecer três condições:

  • f a deve existir, ou seja a tem que pertencer ao domínio da função f ;
  • lim x → a ⁡ f x existe, ou seja, deve ser um número pertencente aos números reais;
  • lim x → a ⁡ f x = f a .

Pra resolver esse problema vamos calcular:

lim x → - 2 ⁡ f x

E depois vamos verificar se os requisitos acima são obedecidos! Depois disso a gente vai esboçar o gráfico de f x e verificar graficamente a nossa conclusão sobre a continuidade!

Passo 2

Temos a seguinte função:

f x = 1 x + 2 ,     x ≠ - 2 1 ,     x = - 2      

O nosso limite é:

lim x → - 2 ⁡ 1 x + 2

Ué, mas no ponto x = - 2 a função não é igual a 1 ?!

Sim, mas aqui a gente tá tendendo a x = - 2 , não estamos exatamente nesse ponto! Vamos resolver o limite:

lim x → - 2 ⁡ 1 x + 2 = 1 0 = ∞

Ops, se quando nos aproximamos do nosso ponto vamos pro infinito, isso significa que o limite não existe! Portanto a função não é contínua em x = - 2 .

Vamos olhar primeiro a parte da função onde temos x = - 2 definido:

f - 2 = 1

Como a função é uma constante, temos:

lim x → - 2 ⁡ 1 = 1

Não precisamos nem nos preocupar em olhar limites laterais, o limite vai ser sempre igual a 1 ! Agora vamos olhar os limites laterais da segunda condição:

lim x → - 2 - ⁡ 1 x + 2

Quando estamos vindo pela esquerda, estamos pegando valores muito próximos de 2, porém menores que ele. Logo, x + 2 dará um numero muito pequeno, mas negativo. Assim:

lim x → - 2 - ⁡ 1 x + 2 = - ∞

Já quando nos aproximamos pela direta, pegamos valores um pouco maior. Logo, x + 2 será muito próximo de 0 e positivo. Portanto:

lim x → - 2 + ⁡ 1 x + 2 = ∞

Passo 3

Agora, esboçando o gráfico, temos:

Quando desenhamos um gráfico de uma função contínua, não precisamos tirar o lápiz do papel, o que não é o nosso caso nessa função!

Resposta

  1. A função é descontínua.
  2. Esboço do gráfico.
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