Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 7.6 - Ex. 20

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20. Calcular ∬ R x + y d x d y onde R é a região descrita na figura 7.17

∬ p x q ( y ) d x d y = ∫ a b p ( x ) ⋅ ∫ c d q ( y ) d y

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica:

Analisando o gráfico, temos uma figura que não pode ser representada em apenas uma integral dupla, logo precisamos dividir em duas:

∫ 0 1 2 ∫ y 4 4 y ( x + y )   d x   d y + ∫ 1 2 2 ∫ y 4 1 y ( x + y )   d x   d y

Primeiro iremos resolver o primeiro termo dessa integral, integrando em relação a x primeiro.

∫ y 4 4 y ( y + x )   d x =

x 2 2 + y x y 4 4 y = 16 y 2 2 + 4 y 2 - y 2 32 - y 2 4

= 8 y 2 + 4 y 2 - y 2 32 - 1 4 y 2

Passo 2

∫ 0 1 / 2 8 y 2 + 4 y 2 - y 2 32 - 1 4 y 2   d y =

∫ 0 1 / 2 375 32   d y =

375 32 ⋅ y 3 3 0 1 2 = 375 768

Passo 3

Agora iremos resolver o segundo termo:

∫ 1 2 2 ∫ y 4 1 y ( x + y )   d x   d y

Vamos integrar em relação a x primeiro,

∫ y 4 1 y ( x + y )   d x =

x 2 2 + y x y 4 1 y = 1 2 ⋅ 1 y 2 + y ⋅ 1 y - 1 2 ⋅ y 2 16 - y ⋅ y 4  

= 1 2 y 2 + 1 - y 2 32 - y 2 4

Passo 4

∫ 1 2 2 1 2 y 2 + 1 - y 2 32 - y 2 4   d y =

( - 1 2 y + y - y 3 96 - y 3 12 1 2 2 = 1161 768

Passo 5

Ao juntar as integrais iniciais, temos:

1161 768 + 37 5 768 = 1536 768

= 2

Resposta

2

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