Enunciado

Nas equações de Lotka-Volterra, a interação entre as duas espécies é modelada por termos proporcionais ao produto x y das duas populações. Se a população de presas for muito maior do que a de predadores, esse valor poderá ser muito maior do que as interações; por exemplo, um predador pode caçar só quando está com fome, ignorando a presa em outros momentos. Neste problema, vamos considerar um modelo alternativo proposto por Rosenzweig e MacArthur.

(a) Considere o sistema

x ' = x 1 - 0,2 x - 2 y x + 6 , y ' = y - 0,25 + x x + 6

Determine todos os pontos críticos desse sistema.

(b) Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico.

(c) Desenhe um campo de direções e um retrato de fase para esse sistema.

Passo 1

Vamos começar relembrando o que é um ponto crítico. Ponto crítico é um ponto ( x , y ) do sistema em que as derivadas são nulas. Então, o que vamos fazer é igualar uma das duas derivadas a zero e encontrar os valores que são raízes da equação:

y ' = 0 = y - 0,25 + x x + 6

y = 0

Ou

- 0,25 + x x + 6 = 0

0,25 = x x + 6

x = 0,25 x + 6 = 0,25 x + 1,5

0,75 x = 1,5

x = 2

Vamos agora aplicar estes valores de x e y que encontramos na outra derivada para definir os pontos críticos. Para y = 0 :

x ' = x 1 - 0,2 x - 2 * 0 x + 6 = 0

x = 0

Ou

1 - 0,2 x = 0 → x = 5

Então, nossos primeiros pontos críticos são P 1 = ( 0,0 ) e P 2 = ( 5,0 ) . Para x = 2 :

x ' = 2 1 - 0,2 * 2 - 2 y 2 + 6 = 0

1 - 0,2 * 2 - 2 y 2 + 6 = 0

1 - 0,4 - 2 y 8 = 0

0,6 = 2 y 8

0,6 = y 4

y = 2,4

Então, nosso último ponto crítico é P 3 = ( 2 ; 2,4 ) .

Passo 2

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos para o item (b). O item (b) pede para determinar o tipo e a estabilidade de cada ponto crítico. Para isso, vamos começar chamando:

f x , y = x 1 - 0,2 x - 2 y x + 6

g x , y = y - 0,25 + x x + 6

Para definir cada ponto vamos aplicar agora a matriz jacobiana. Ela é dada por:

J = d d t x y = d f d x d f d y d g d x d g d y

J = 1 - 0,2 x - 2 y x + 6 + x - 0,2 + 2 y x + 6 2 - 2 x x + 6 y 1 x + 6 - x x + 6 2 - 0,25 + x x + 6

O primeiro ponto crítico é P 1 = ( 0,0 ) :

d d t x y = 1 0 0 - 0,25 x y

Então, r 1 = 1 e r 2 = - 0,25 :

x y = c 1 1 0 e t + c 2 1 0 e - 0,25 t

Portanto, para o ponto crítico ( 0,0 ) temos r 1 > 0 > r 2 , então este ponto é um ponto de sela instável.

Vamos agora para o segundo ponto crítico, P 2 = ( 5,0 ) :

J = 1 - 0,2 x - 2 y x + 6 + x - 0,2 + 2 y x + 6 2 - 2 x x + 6 y 1 x + 6 - x x + 6 2 - 0,25 + x x + 6

d d t x y = - 1 - 10 11 0 - 0,25 + 5 11

d d t x y = - 1 - 10 11 0 1 44 ( 20 - 11 )

d d t x y = - 1 - 40 44 0 9 44

x y = c 1 1 0 e - t + c 2 - 40 9 e 1 44 t

Então, para este ponto teremos r 1 = - 1 e r 2 = 1 / 44 . Portanto, r 2 > 0 > r 1 e, assim, P 2 = ( 5,0 ) é um ponto de sela instável.

O terceiro ponto crítico é P 3 = ( 2 ; 2,4 ) . Aplicando na jacobiana:

J = 1 - 0,2 x - 2 y x + 6 + x - 0,2 + 2 y x + 6 2 - 2 x x + 6 y 1 x + 6 - x x + 6 2 - 0,25 + x x + 6

d d t x y = 1 - 0,4 - 4,8 2 + 6 + 2 - 0,2 + 4,8 2 + 6 2 - 4 2 + 6 2,4 1 2 + 6 - 2 2 + 6 2 - 0,25 + 2 2 + 6

d d t x y = 2 - 0,2 + 4,8 64 - 0,5 2,4 1 8 - 2 64 0

d d t x y = - 0,25 - 0,5 0,225 0

x y = c 1 1 - 0,9 e - 0,25 t + c 2 1 0 e - 0,5 t

Então, temos uma raiz da forma r 2 < r 1 < 0 , então o ponto P 3 é um nó assintoticamente estável.

Passo 3

Para o item (c) devemos agora desenhar o campo de direções e o retrato de fase do sistema. O primeiro passo será obter a derivada d y / d x . Sabemos que:

d x / d t = x 1 - 0,2 x - 2 y x + 6 , d y / d t = y - 0,25 + x x + 6

Se fizermos :

d y d t d x d t = d y / d x

Então:

d y d x = y - 0,25 + x x + 6 x 1 - 0,2 x - 2 y x + 6

Aplicando a derivada para diferentes pontos do plano x y , seremos capazes de obter o campo de direções do sistema. Usando o Excel devemos chegar em algo parecido com:

Para obter o retrato de fases devemos observar a tendência do campo. Ao fazer isso obtemos:

Resposta

Pontos críticos:

P 1 = 0,0 , ponto de sela instável;

P 2 = 5,0 , ponto de sela instável.

P 3 = 2 ; 2,4 , nó assintoticamente estável.

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