Enunciado

Aplicando um modelo de administração com esforço constante às equações de Lotka-Volterra, obtemos o sistema

x ' = x a - α y - E 1 , y ' = y ( - c + γ x - E 2 )

Quando não há administração, a solução de equilíbrio é ( c / γ ,   a / α ) .

(a) Antes de fazer qualquer análise matemática, pense sobre a situação intuitivamente. Como você acha que as populações irão variar se as presas forem administradas? E se só os predadores forem administrados? E se ambos forem administrados?

(b) Como varia a solução de equilíbrio se as presas forem administradas, mas os predadores não ( E 1 > 0 ,   E 2 = 0 ) ?

(c) Como varia a solução de equilíbrio, se os predadores forem administrados, mas as presas não ( E 1 = 0 ,   E 2 > 0 ) ?

(d) Como varia a solução de equilíbrio, se ambos forem administrados ( E 1 > 0 ,   E 2 > 0 ) ?

Passo 1

Nosso primeiro passo é pensar em como as populações de presa e predador são alteradas com a administração com esforço constante. Se apenas as presas forem administradas, esperamos que a população de presas se mantenha constante, certo? Para manter o mesmo número de presas, teremos que diminuir a população de predadores. Concordamos até aqui? Legal.

Da mesma forma, se administrarmos uma população de predadores, devemos manter a quantidade de predadores e, para isso, precisamos de uma maior população de presas. Tudo bem?

Se administrarmos as duas populações temos que pensar que, para manter a população de presas diminuíremos a população de predadores. E, para manter os predadores, aumentamos a população de presas. Então, continuando o raciocínio, o esperado é que a população de presas cresça e a de predadores diminua mais se ambas populações forem administradas.

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Neste item, consideramos que apenas as presas serão administradas ( E 1 > 0 ,   E 2 = 0 ) e, vamos encontrar a nova condição de equilíbrio. Para isso, vamos igualar as derivadas de cada população a zero:

x ' = x a - α y - E 1 = 0

a - α y - E 1 = 0

a - E 1 = α y

y = a - E 1 α

E

y ' = y - c + γ x = 0

- c + γ x = 0

x = c γ

Então, a nova condição de equilíbrio será ( c / γ ,   ( a - E 1 ) α ) . Como podemos ver, a população de presas se manteve e, a de predadores diminuiu, assim como pensamos que iria ocorrer.

Vamos agora para o item (c), em que apenas os predadores são administrados ( E 1 = 0 ,   E 2 > 0 ) . Assim como fizemos no item (b), vamos definir as novas condições de equilíbrio:

x ' = x a - α y = 0

a - α y = 0

y = a / α

E

y ' = y - c + γ x - E 2 = 0

- c + γ x - E 2 = 0

γ x = E 2 + c

x = E 2 + c γ

Então, a nova solução de equilíbrio para a condição de administração com esforço constante dos predadores é ( E 2 + c γ , a / α ) . Então, a população de presas será superior à da condição sem administração, e a de predadores se mantém constante.

Passo 3

O item (d) nos pede para avaliar a condição em que as duas populações são administradas ( E 1 > 0 ,   E 2 > 0 ) . Para esta situação, o ponto de equilíbrio será:

x ' = x a - α y - E 1 = 0

a - α y - E 1 = 0

a - E 1 = α y

y = a - E 1 α

E

y ' = y - c + γ x - E 2 = 0

- c + γ x - E 2 = 0

γ x = E 2 + c

x = E 2 + c γ

Então, se ambas populações são administradas, o novo equilíbrio é E 2 + c γ ,   a - E 1 α . E, podemos ver que a população de presas aumentará e, a de predadores diminui.

Resposta

(b) A população de presas se mantém e a de predadores diminui.

(c) A população de predadores se mantém e a de presas aumenta.

(d) A população de presas aumenta e a de predadores diminui.

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