Enunciado

21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

26. f p ,   q ,   r = a r c tan ⁡ p q r ,   1 ,   2 ,   1

Passo 1

A taxa de variação máxima de f ocorre quando a derivada direcional D u f é ∇ f , ou seja, basta encontrarmos o gradiente de f no ponto dado e depois tirar seu módulo pelo teorema de Pitágoras! O gradiente é dado por:

∇ f = f p ,   f q ,   f r

Que são nada mais, nada menos do que as derivadas parciais de f . Descobrindo essas derivadas:

f p ,   q ,   r = a r c tan ⁡ p q r

f p = q r 1 + p q r 2

f q = p r 1 + p q r 2

f r = p q 1 + p q r 2

∇ f p ,   q ,   r = q r 1 + p q r 2 ,   p r 1 + p q r 2 , p q 1 + p q r 2  

Passo 2

O enunciado pede o gradiente no ponto 1 ,   2 ,   1 , então:

∇ f 1 ,   2 ,   1 = 2.1 1 + 2 2 ,   1.1 1 + 2 2 , 1.2 1 + 2 2  

∇ f 1 ,   2 ,   1 = 2 5 , 1 5 , 2 5  

Sendo assim, a taxa de variação máxima de f será em:

∇ f 1 ,   2 , 1 = 2 5 2 + 1 5 2 + 2 5 2

∴ ∇ f 1 ,   2,1 = 3 5

Na direção 2 5 , 1 5 , 2 5   . E está aí nosso resultado 😊!

Resposta

∇ f 1 ,   2,1 = 3 5

Na direção 2 5 , 1 5 , 2 5  

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