Enunciado

Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   c u r v a s   y = e - x ,   y = 0 ,   x = 0 ,   x = 1 ; ρ x , y = x y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom... Temos que encontrar a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D quando a função densidade é ρ x , y = x y .

Os limites de y são de 0 a e - x e x de 0 a 1 .

Passo 2

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Podemos dizer que:

D = 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ e - x

A nossa integral vai ser:

m = ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x y d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ 0 e - x x y d y = x y 2 2 0 e - x

∫ 0 e - x x y d y = x e - x 2 2

∫ 0 e - x x y d y = x e - 2 x 2

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x y d y d x = ∫ 0 1 x e - 2 x 2 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ 0 1 x e - 2 x 2 d x = 1 2 x e - 2 x - 2 - ∫ 1 e - 2 x 2 d x 0 1

m = ∫ 0 1 x e - 2 x 2 d x = 1 2 x e - 2 x - 2 - e - 2 x 4 0 1

m = 1 2 1 e - 2 1 - 2 - 1 e - 2 1 4 - 0 e - 2 0 - 2 + 1 e - 2 0 4

m = 1 2 - e - 2 2 - e - 2 4 + 1 4

m = 1 8 1 - 3 e - 2

Portanto a massa da lâmina é:

m = 1 8 1 - 3 e - 2

Passo 3

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = M x m = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = M y m = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Resolvendo x - , temos:

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x ( x y ) d y d x

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x 2 y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x 2 y 2 2 0 e - x d x

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x 2 e - x 2 2 d x

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x 2 e - 2 x 2 d x

Agora a integral de fora:

x - = 1 2 1 8 1 - 3 e - 2 x 2 e - 2 x - 2 - ∫ 0 1 2 x e - 2 x - 2 d x 0 1

x - = 1 2 1 8 1 - 3 e - 2 x 2 e - 2 x - 2 - x e - 2 x - 2 - e - 2 x 4

x - = 8 2 1 - 3 e - 2 1 - 5 e - 2 4

x - = 1 - 5 e - 2 1 - 3 e - 2

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x y ( x y ) d y d x

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x y 2 d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x y 3 3 0 e - x d x

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x e - x 3 3 d x

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x e - 3 x 3 d x

Agora a integral de fora:

y - = 1 3 1 8 1 - 3 e - 2 x e - 3 x - 3 - e - 3 x 9 0 1

y - = 1 3 1 8 1 - 3 e - 2 e - 3 - 3 - e - 3 9 + 1 9

y - = 8 27 1 - 3 e - 2 1 - 4 e - 3

y - = 8 1 - 4 e - 3 27 1 - 3 e - 2

Portanto o centro de massa é o ponto:

1 - 5 e - 2 1 - 3 e - 2 , 8 1 - 4 e - 3 27 1 - 3 e - 2

Resposta

m = 1 8 1 - 3 e - 2

x - ,   y - = 1 - 5 e - 2 1 - 3 e - 2 , 8 1 - 4 e - 3 27 1 - 3 e - 2

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