Enunciado

21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

25. f x ,   y ,   z = x y + z ,   ( 8 ,   1 ,   3 )

Passo 1

A taxa de variação máxima de f ocorre quando a derivada direcional D u f é ∇ f , ou seja, basta encontrarmos o gradiente de f no ponto dado e depois tirar seu módulo pelo teorema de Pitágoras! O gradiente é dado por:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Que são nada mais, nada menos do que as derivadas parciais de f . Descobrindo essas derivadas:

f x ,   y ,   z = x y + z

f x = 1 y + z

f y = - x y + z 2

f z = - x y + z 2

∇ f x ,   y ,   z = 1 y + z ,   - x y + z 2 ,   - x y + z 2

Passo 2

O enunciado pede o gradiente no ponto ( 8 ,   1 ,   3 ) , então:

∇ f 8 ,   1 ,   3 = 1 1 + 3 ,   - 8 1 + 3 2 ,   - 8 1 + 3 2

∇ f 8 ,   1 ,   3 = 1 4 ,   - 1 2 ,   - 1 2

Sendo assim, a taxa de variação máxima de f será em:

∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 1 4 2 + - 1 2 2 + - 1 2 2

∴ ∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 3 4

Na direção 1 4 ,   - 1 2 ,   - 1 2 . E está aí nosso resultado 😊!

Resposta

∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 3 4

N a   d i r e ç ã o   1 4 ,   - 1 2 ,   - 1 2

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