Enunciado

22. ( Continuação do Exercício 21.)

a. Inscreva um polígono regular de n lados dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área de um dos n triângulos congruentes formados pelos raios que cruzam os vértices do polígono.

b. Calcule o limite da área do polígono inscrito quando n → ∞ .

c. Repita os cálculos dos itens (a) e (b) para um círculo de raio r.

Passo 1

a.

Podemos observar com a ajuda da resolução da questão 21 algumas coisas:

- O polígono regular de n lados pode ser dividido em n triângulos isósceles iguais.

- O ângulo θ é a metade do menor ângulo desses n triângulos e vale

θ = 2 π 2 n

θ = π n

- O maior lado do triângulo é igual ao raio, r , que nesse caso vale 1.

- A altura do triângulo é igual a

h = r . cos ⁡ θ

como o raio é igual a 1:

h = cos ⁡ θ

- A base do triângulo, a , é igual a

a = 2 r ⋅ sen ⁡ θ

como o raio é igual a 1:

a = 2 sen ⁡ θ

- A área do triângulo é

A t r i â n g u l o = a ⋅ h 2

A t r i â n g u l o = 2 sen ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ 2

A t r i â n g u l o = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

OBS: a fórmula do arco duplo é

sen ⁡ 2 a = 2 sen ⁡ a cos ⁡ a

Então podemos escrever a área do triângulo como sendo:

A t r i â n g u l o = sen ⁡ 2 θ 2

A t r i â n g u l o = sen ⁡ 2 π n 2

Passo 2

A área do polígono é igual a

A p o l í g o n o = n ⋅ A t r i â n g u l o

A p o l í g o n o = n 2 ⋅ sen ⁡ 2 π n

Agora aplicando o limite quando n tende ao infinito vamos obter:

A = lim n → ∞ ⁡ n 2 ⋅ sen ⁡ 2 π n

Podemos reescrever esse limite como sendo:

A = lim n → ∞ ⁡ π ⋅ sen ⁡ 2 π n 2 π n  

Podemos tirar o π para fora do limite e substituir 2 π / n por u , então vamos obter o seguinte limite:

A = π lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Esse é um dos limites fundamentais que vale 1, então a área do polígono regular de n lados com n tendendo ao infinito é

A = π

Passo 3

c.

Podemos aproveitar o que está escrito no Passo 1.

Nesse caso o raio não é 1 então devemos usar

h = r . cos ⁡ θ

e

a = 2 r ⋅ sen ⁡ θ

A área do triângulo fica

A t r i â n g u l o = a ⋅ h 2

A t r i â n g u l o = 2 r sen ⁡ θ ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ 2

A t r i â n g u l o = r 2 ⋅ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

também pelo arco duplo, podemos escrever:

A t r i â n g u l o = r 2 ⋅ sen ⁡ 2 θ 2

A t r i â n g u l o = r 2 ⋅ sen ⁡ 2 π n 2

A área do polígono vai ser

A p o l í g o n o = n ⋅ r 2 sen ⁡ 2 π n 2

Perceba que ta igual a antes a única diferença é que agora tem o r 2 , se reescrevervos essa área e aplicar o limite vamos ter que

A = lim n → ∞ ⁡ r 2 ⋅ n 2 sen ⁡ 2 π n

Podemos tirar o r 2 para fora do limite e vamos obter o mesmo limite calculado na letra (b) e que sabemos que vale π , então:

A = π r 2

Resposta

a. A t r i â n g u l o = sen ⁡ 2 π n 2

b. A = π

c. A = π r 2

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