Enunciado

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 a r c tan ⁡ ( n )

Passo 1

Para testarmos se a série é convergente ou divergente, vamos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:

f n = a r c tan ⁡ ( n )

f ' n = 1 1 + n ² > 0

Pelo resultado da derivada já notamos que a sequência não passou nem pela primeira condição! Para ser decrescente a derivada tem que ser negativa para qualquer valor positivo de n , que claramente não é o que ocorre, galera! Então, vamos usar outro teste para conferir se ela diverge ou converge: o teste da divergência!

Passo 3

Para o teste da divergência, temos que calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n - 1 arctan ⁡ ( n )

Se for um número diferente de 0 , podemos afirmar que essa série diverge!

Quando n → ∞ , nosso termo - 1 n - 1 vai tender a 1 ou - 1 , mas isso não vai fazer diferença. A questão aqui é que arctan ⁡ ( n ) , com n → ∞ , tende a k π 2 , onde k é um número ímpar.

Isso porque tan ⁡ π 2 = ∞ . Dessa forma, teremos um limite que é diferente de 0 .

Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é divergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 a r c tan ⁡ ( n )   é   d i v e r g e n t e

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