Enunciado

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 10 n

Passo 1

Para testarmos se a série é convergente ou divergente, vamos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:

f n = n 10 n

f ' n = 10 n - n . 10 n . ln ⁡ 10 10 2 n = 1 - n . ln ⁡ 10 10 n < 0   p a r a   1 ,   ∞

De fato a sequência é decrescente, uma vez que para qualquer valor de n no intervalo em questão resultará em um valor negativo. Agora testando a segunda condição:

lim n → ∞ ⁡ n 10 n

Usando a regra de L’Hospital, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 10 n . ln ⁡ 10 = lim n → ∞ ⁡ 1 10 n . lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 10 = 0

Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 10 n   é   c o n v e r g e n t e

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