Enunciado

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência

- 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + …

Passo 1

Antes de testarmos se a série converge ou diverge, temos que escrever uma expressão pra sequência que nos foi dada, certo? Podemos notar algumas coisas se olharmos pra essa sequência: a primeira é que há alternância entre os sinais, a segunda é que o numerador é composto apenas por números pares e a terceira é que o denominador aumenta de começa em 5 e aumenta de um em um. Escrevendo uma série, teremos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n + 4

Tudo bem, uma vez que isso foi estabelecido, agora devemos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:

f n = 2 n n + 4

f ' n = 2 . n + 4 - 2 n n + 4 2 = 8 n + 4 2 > 0

Pela derivada podemos notar que a sequência não é decrescente, uma vez que ela sempre será positiva por conta do termo quadrático no denominador. Dessa forma, podemos concluir que a série que nos foi dada é divergente.

Resposta

- 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + … é   d i v e r g e n t e

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