Enunciado

23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.

(a) cosh - 1 ⁡ x

(b) tgh - 1 ⁡ x

(c) cossech - 1 ⁡ x

(d) sech - 1 ⁡ x

(e) cotgh - 1 ⁡ x

Passo 1

(d)

Sendo y = sech - 1 ⁡ x , então

x = sech ⁡ y

Nós queremos a derivada de y , então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:

d d x x = d d x sech ⁡ y

A derivada da secante hiperbólica é menos a secante hiperbólica vezes a tangente hiperbólica:

1 = - sech ⁡ y tgh ⁡ y ⋅ d y d x

Isolando a derivada de y :

d y d x = - 1 sech ⁡ y tgh ⁡ y

Podemos usar essa relação:

1 - tgh 2 ⁡ y = sech 2 ⁡ y

tgh 2 ⁡ y = 1 - sech 2 ⁡ y

tgh ⁡ y = 1 - sech 2 ⁡ y

Então:

d y d x = - 1 sech ⁡ y ⋅ 1 - sech 2 ⁡ y

Como no inicio definimos que

x = sech ⁡ y

e

y = sech - 1 ⁡ x

então

d d x sech - 1 ⁡ x = - 1 x ⋅ 1 - x 2

Resposta

d d x sech - 1 ⁡ x = - 1 x ⋅ 1 - x 2

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