Enunciado

Se f (x) = int_0^(s e n x) sqrt(1 + t^2) d t e g (x) = int_0^y f ( x ) d x , econtre g^(' ') (x) .

Passo 1

Já que precisamos da segunda derivada de g , então vamos derivar ué! Quem perde tempo é outro, noiizz naum!

Pelo Teorema fundamental do cálculo,

g^' (y) = (d)/(d y) (int_0^y f (x) d x)

Ou seja,

g^' (y) = f (y)

Reescrevendo,

g^' (y) = int_0^(s e n y) sqrt(1 + t^2) d t

Passo 2

Calculando a segunda derivada, pelo teorema fundamental do cálculo,

g^(' ') (y) = sqrt(1 + s e n^2 x) (s e n x)^'

Isto é,

g^(' ') (y) = sqrt(1 + s e n^2 x) cos x

Aplicando no ponto x = (pi)/(6) ,

g^(' ') ((pi)/(6)) = sqrt(1 + (1)/(4)) * (sqrt(3))/(2) = (sqrt(5))/(2) * (sqrt(3))/(2) = (sqrt(15))/(4)

Daí,

g^(' ') ((pi)/(6)) = (sqrt(15))/(4)

Resposta

g^(' ') ((pi)/(6)) = (sqrt(15))/(4)

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