Enunciado

25. Ache a área da região varrida pelo raio vetor da espiral r = a θ durante sua terceira revolução, que não foi varrida durante sua segunda revolução.

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = A 2 - A 3 = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 1 2 a 2 . ∫ 4 π 6 π θ 2 d θ - 1 2 a 2 . ∫ 2 π 4 π θ 2 d θ =

= 1 6 a 2 θ 3 4 π 6 π - 1 6 a 2 θ 3 2 π 4 π = 16 a 2 π 3

Resposta

A = 16 a 2 π 3

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Ache a área da região interior ao gráfico de r = 2 as e n θ e exterior ao gráfico de r = a .
Ache a área da região interior ao gráfico da lemniscata r 2 = 2 s e n 2 θ e exterior ao gráfico de r = 1 .
r = 2 2 - s e n θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
Ache os pontos de intersecção dos gráficos das equações r = t g θ e r = c o t g θ .
r = 4 3 - 2 c o s θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.