Enunciado

Nos exercícios de 9 a 12, ache a área da região limitada por um laço do gráfico da equação dada.

12. r = a s e n 3 θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como ele quer a área de um laço somente, basta fazer θ variar de 0   a t é π 3 .

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = ( 1 2 ∫ 0 π 3 a s e n 3 θ 2 d θ ) = 1 2 ∫ 0 π 3 a 2 s e n 2 3 θ d θ =

a 2 2 ∫ 0 π 3 1 2 1 - c o s 6 θ d θ = a 2 4 θ - 1 6 s e n 6 θ 0 π 3 = a 2 4 π 3 - 0 - 0 - 0 = π a 2 12

Resposta

A = π a 2 12

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