Enunciado

25-28. Use o Teorema 5.5 . 4 e fórmulas apropriadas de Geometria para calcular as integrais.

2 7 . ∫ 0 1 ( x + 2 1 - x 2 ) d x

Passo 1

Utilizamos essas propriedades aqui:

∫ a b f x + g ( x ) d x = ∫ a b f x d x + ∫ a b g ( x ) d x

∫ a b c f x d x = c ∫ a b f x d x

E usaremos o fato de que a área é igual a integral.

Então vamos lá

Passo 2

Vamos começar quebrando essa integral.

∫ 0 1 ( x + 2 1 - x 2 ) d x = ∫ 0 1 x d x - 2 ∫ 0 1 1 - x 2 d x

Então precisaremos desenhar o gráfico de y = x destacando o intervalo de 0 e 1 .

Temos que calcular a área do triângulo em azul

A área do triângulo retângulo é dada pelo produto dos catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0   até 1 , então tem comprimento igual a 1 .

O segundo cateto vai de 0 até 1 , então tem comprimento igual a 1 .

A = 1   x   1 2 = 1 2

∫ 0 1 x d x = 1 2

Agora vamos deixar para o passo 3, o cálculo da integral:

2 ∫ 0 1 1 - x 2 d x

Passo 3

Agora precisamos desenhar o gráfico de y = 1 - x 2 , destacando o intervalo de 0   a 1 .

Temos que calcular a área desse 1 / 4 de circunferência de raio igual a 1 , a área da circunferência inteira é dada por A = π r 2 , então a de ¼ é:

A = π r 2 4

Então, temos:

A = π 1 2 4 = π 4

Então voltando para a integral.

∫ 0 1 1 - x 2 d x = π 4

Então resumindo, temos que:

∫ 0 1 x d x = 1 2

∫ 0 1 1 - x 2 d x = π 4

E voltando para a integral inicial, temos:

∫ 0 1 ( x + 2 1 - x 2 ) d x = 1 2 + 2 π 4 = 1 2 + π 2 = 1 + π 2

∫ 0 1 ( x + 2 1 - x 2 ) d x = 1 + π 2

Resposta

∫ 0 1 ( x + 2 1 - x 2 ) d x = 1 + π 2

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