Enunciado

18. Em cada parte, calcule a integral, sabendo que:

f x = 2 x ,   x ≤ 1 2 ,   x > 1

a) ∫ 0 1 f x d x

b) ∫ - 1 1 f x d x

c) ∫ 1 10 f x d x

d) ∫ 1 / 2 5 f x d x

Passo 1

Vamos lá!! Vou primeiro desenhar o gráfico dessa função.

f x = 2 x ,   x ≤ 1 2 ,   x > 1

Sendo a parte em azul, a função   y = 2 ,   x > 1 .

E a parte vermelha, a função y = 2 x ,   x ≤ 1 .

A ideia para fazermos essa questão será fazer a área das regiões destacadas e a área da região vai ser numericamente igual a integral!!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos para a letra a)

∫ 0 1 f x d x

Precisamos achar a área que está em destaque, que vai de 0 até 1 .

Temos que calcular a área desse triângulo retângulo em verde, que é a multiplicação dos dois catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0 até 1 , então tem comprimento igual a 1 .

O segundo cateto vai de 0 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

A = 1   x   2 2 = 1

Como a integral é numericamente igual a área, temos:

∫ 0 1 f x d x = 1

Agora vamos para a letra b)

∫ - 1 1 f x d x

Temos que destacar a área que vai de - 1 a 1 , então fica assim:

Sabemos a área do triângulo em verde, então só vamos calcular a área do triângulo em roxo e somar essas duas áreas:

Temos que calcular a área do triângulo retângulo em roxo, e sabendo que essa área com sinal é negativa, que é a multiplicação dos dois catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0 até 1 , então tem comprimento igual a 1 .

O segundo cateto vai de 0 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

A = 1   x   2 2 = - 1

Como a integral é numericamente igual a área, e somando a área do triângulo em verde com a área do triângulo em roxo:

∫ - 1 1 f x d x = 1 - 1 = 0

No passo 3, deixarei para fazer a c) e a d)

Passo 3

Vamos para a letra c)

∫ 1 10 f x d x

A área destacada é de 1 até 10 , então é assim:

Temos que calcular a área desse retângulo , que é a multiplicação da base vezes a altura.

A = b a s e   x   a l t u r a

A base vai de 1 até 10 , então tem comprimento igual a 9 .

A altura vai de 0 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

A = 9   x   2 = 18

Como a integral é numericamente igual a área, temos que:

∫ 1 10 f x d x = 18

Agora para terminarmos ufaaaa! Vamos para a letra d)

∫ 1 / 2 5 f x d x

Na letra d), temos que o intervalo é de 1 / 2 até 5 , então destacando a área no gráfico, temos:

A região em azul é um trapézio, a área do trapézio é dada por

A = b a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r × a l t u r a 2

A base menor vai de 0 até 1 , então a base menor mede 1 .

A base maior vai de 0 até 2 , então a base maior mede 2 .

E a altura vai de 1 / 2 até 1 , então a altura mede 1 / 2 .

A = 2 + 1 × 1 / 2 2 = 3 4

Agora calculando a área do retângulo, que é dada por A = b a s e   × a l t u r a .

A base vai de 1 até 5 , então mede 4 .

A altura vai de 0 até 2, então mede 2 .

A = b a s e   × a l t u r a = 4 × 2 = 8

Agora para calcularmos a integral precisamos somar essas duas áreas!

∫ 1 / 2 5 f x d x = 8 + 3 4 = 35 4

Resposta

(a)   1

(b) 0

(c) 18

(d)   35 4

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Usar o resultado do Exercício 35 para calcular: ∫ - π π 2 sen ⁡ x d x ∫ - π π cos ⁡ x π d x ∫ - 1 1 x 4 + x 2 d x
Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .
Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ 1 3 3 x 2 + 4 d x ≥ ∫ 1 3 2 x 2 + 5 d x
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ - 2 - 1 d x x ≤ ∫ - 2 - 1 ( - 1 2 - x 4 ) d x