Enunciado

25.(a) Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x c o s x no ponto ( π , - π )

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta tangente na mesma tela.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a função:

y = x cos ⁡ x

E queremos calcular a reta tangente a esta curva no ponto ( π , - π ) .

Quando a gente fala de equação da reta tangente, precisamos falar sobre derivadas. O coeficiente angular da reta é dado por:

m = d d x x cos ⁡ x

Assim como a equação da reta dado um ponto e coeficiente angular!

y - y o = m ( x - x o )

Onde o ponto ( x 0 , y 0 ) vai ser o ponto ( π ,   - π ) .

Passo 2

Vamos fazer a derivada, vamos usar o produto de derivada então, vamos relembrá-lo. Nunca é demais relembrar fórmulas!!

f g ' = f ' g + f g '

Fazendo aquela anotação esperta de f   e g :

f = x

f ' = 1

g = c o s x

g ' = - sin ⁡ x

Substituindo na expressão que está escrita no comecinho!

y ' = 1 ∙ c o s x + x - sin ⁡ x

y ' = c o s x - x sin ⁡ x

Passo 3

Vamos com calma! Primeiro vamos achar o coeficiente angular, que é bem simples, apenas temos que substituir x por π na expressão da derivada!

m = c o s π - π sin ⁡ π = - 1 - 0 = - 1

Usaremos agora a equação da reta, dessa forma e lembrando que o ponto é esse aqui ( π , - π ) :

y - - π = - 1 ( x - π )

y + π = - x + π

y = - x

(b) Gerando o gráfico com ajuda do GeoGebra, podemos ver que estamos certos nos nossos cálculos.

Resposta

(a)

y = - x

(b)

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6- Determine uma reta que seja tangente à elipse x 2 + 2 y 2 = 9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9 4 .
7- Mostre que a reta x x 0 + y y 0 = 2 é tangente à curva ( x x 0 ) 3 + ( y y 0 ) 3 = 2 no ponto ( x 0 , y 0 ) .
8- Determine uma reta paralela à reta x + y = 1 e tangente à curva x 3 + x y + y 3 = 0 em um ponto ( x 0 , y 0 ) , com x 00 e y 00 .
Ache uma equação da reta tangente à curva y = e - x que é perpendicular à reta 2 x - y = 5 .
Ache uma equação da reta normal à curva y = e 2 x no ponto onde x = ln ⁡ 2 .