Enunciado

7- Mostre que a reta x x 0 + y y 0 = 2 é tangente à curva ( x x 0 ) 3 + ( y y 0 ) 3 = 2   no ponto ( x 0 , y 0 ) .

Passo 1

Para ver que a reta é tangente à curva no ponto dado, é necessário que analisemos as derivadas das respectivas funções.

Antes de começarmos a por a mão na massa, vejamos que a reta pode ser reescrita como y = - y o x 0 x + 2 y 0 .

Vamos agora calcular as derivadas:

Reta: d y d x = - y 0 x 0

Curva: 1 x 0 3 . 3 x 2 + 1 y 0 3 . 3 y 2 . d y d x = 0   ⇔   - 3 x 2 x 0 3 = 1 y 0 3 . 3 y 2 . d y d x     ⇔   d y d x = - x 2 . y 0 3 x 0 . 3 y 2

Passo 2

Para que a reta seja tangente à curva, precisamos que o coeficiente angular da reta no ponto seja o mesmo do da curva no mesmo ponto.

Assim, vamos resolver essa equação:

y 0 x 0 = x 2 y 0 3 x 0 3 y 2

x 2 y 0 3 x 0 3 y 2 - y 0 x 0 = 0 ∴     x 2 y 0 3 - y 0 y 2 x 0 2 = 0

Note que agora nós simplesmente descartamos o denominador, e podemos trabalhar com apenas o numerador da fração.

y 0 x 2 y 0 2 - y 2 x 0 2 = 0

Olha que legal, do enunciado da questão nós sabemos que y 0 não pode ser zero (já que não é possível efetuar divisão por zero).

Assim, vamos ser felizes porque o que está dentro dos parênteses é um produto notável, notaram?

x y 0 + y x 0 x y 0 - y x 0 = 0

y = - x y 0 x 0   o u   y = x y 0 x 0

Passo 3

Ok, mas e aí? Encontramos y, mas não bate com o valor do ponto x 0 , y 0 ...

Calma aí, mas temos dois possíveis valores para y , então vamos observar o comportamento de y quando x = x 0 .

y = - x 0 y 0 x 0 = - y 0   o u   y = x 0 y 0 x 0 = y 0

Olha lá, o y 0 apareceu! Agora parte pro abraço porque achamos o ponto (na segunda opção ;))!

Assim, provamos que no ponto ( x 0 , y 0 ) pertence a ambas reta e curva e têm mesma inclinação e, portanto, resolvemos o problema!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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